Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 45 )

4.1. О понятии эталона. Эталонное отношение в четком случае

В естественных науках под эталонами понимают нечто, при­нимаемое за образец, критерий, модель, пример или правило для сравнения или сопоставления с эквивалентными объектами. В ка­честве примеров эталонов укажем на: метр — эталон меры длины; уровень жизни — стандарт, принятый в данной стране для оценки условий жизни; установленные обычаем или общим согласием нормы взаимоотношений между людьми, служащие для характе­ристики стиля поведения в данном обществе; и последнее — уго­ловное законодательство, представляющее собой канонический свод моделей — эталонов противоправного поведения (и соответ­ствующих эталонных мер наказания).

Приведенные примеры иллюстрируют только одну составляю­щую эксплуатируемого понятия, а именно, физическую содержательность понятия «эталон» в различных контекстах. Далее оста­новимся на физическом содержании этого понятия в задачах получения и обработки индивидуальных предпочтений. Здесь же отметим, что для семантической точности понятия необходимо также определить его формульную составляющую, дающую воз­можность оперировать точной формальной структурой при разра­ботке аналитического аппарата.

Основное назначение эталона состоит в том, что содержащая­ся в нем информация определенного типа служит для оценки аналогичной информации в других объектах. Эти оценки могут быть представлены в виде бинарных отношений индивидуального предпочтения. В ряде работ рассматривается четкое отношение «быть эталоном» и описывается его формальная структура. Пусть М — некоторое множество объектов и А — отношение эквивалентности на М. Это отношение определяет разбиение множества М на си­стему непустых подмножеств классов разбиения — таких, что

Наличие разбиения означает, что в каждом его

классе Мі собраны такие элементы из М, которые сходны, оди­наковы или эквивалентны в смысле, определяемом отношением А. Теперь в каждом множестве Мі выберем некоторый содержа­щийся в нем элемент хі и будем называть его эталоном для вся­кого элемента у, входящего в то же множество Мі. По опреде­лению, будем полагать выполненным соотношение хіАу. Так, определенное отношение в ряде работ называется отношением «быть эталоном»; обозначим его через Θ.

На основе этого конструктивного определения «х является эталоном для у» структура Θ характеризуется следующими свой­ствами:

1) для всякого у существует эталон х: хΘу;

2) если хΘу, то уΘх;

3) из хΘу и zΘy следует x = z.

Можно показать, что из этих трех свойств следует опреде­ление эталона с помощью разбиения. Другими словами, сущест­вует сюръективное отображение где X — множество объектов, а элементы множества образов Y служат эталонами для элементов из X. Элемент уj будет эталоном для объектов xiX, если φ(xi)=yj. Множество всех элементов xiМ, имеющих дан­ный образ yiY, составляет класс разбиения множества X по отношению «иметь общий образ», «иметь общий эталон».

Результаты традиционного (метрического) использования эта­лонов в качестве меры всегда можно выразить в виде заключе­ния, что этой меры в исследуемых объектах содержится больше, меньше, столько же или же она вовсе отсутствует. Четкое отно­шение «быть эталоном» — в силу своей бинарной природы — может фиксировать наличие или отсутствие только одного из этих факторов. В связи с этим целесообразно обратиться к нечетким бинарным отношениям, позволяющим при соответствующем ис­пользовании эталонов выражать все четыре перечисленные соот­ношения.

Нечеткое бинарное отношение R определяется как не­четкая совокупность упорядоченных пар. Если Х={х} и Y={y} — множества объектов, то нечеткое отношение из X в Y определяет­ся как нечеткое подмножество X×Y, характеризуемое функцией принадлежности , которая каждой паре (х, у) ставит в соответствие степень принадлежности отношению R. На практике Если Х= Y, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве X, если же Х≠Y, то говорят, что бинарное отношение определено между множествами X и Y, и такие отношения называют отображениями.

4.2. Общая схема проведения экспертных оценок

Для получения отношений индивидуального предпочтения при использовании четких отношений применяют, как правило, одну из двух известных схем: или одновременное сравнение (ранжи­рование) по предпочтительности всех объектов, или одновремен­ное сравнение только двух объектов (парное сравнение). Извест­но, что парные сравнения производятся наиболее просто, однако их объем может быть очень велик в случае полных парных срав­нений.

Рассмотрим следующую общую схему проведения экспертных оценок. Пусть наряду с множеством исследуемых объектов X экспертам предъявляется также множество эталонных объектов Y. Эксперты производят парные сравнения

Функционирование такой схемы определяется тремя отношения­ми: наперед заданным отношением S на множестве эталонных объектов Y, искомым отношением R на множестве исследуемых объектов X, и отношением F между этими двумя множествами. Другими словами, отношение S фиксирует состояние системы эта­лонных множеств, искомое отношение R должно характеризовать состояние системы элементов хiХ, а (отношение) отображение F определяет характер взаимодействия этих систем, характер их согласования.

Однако для полного описания такой схемы указанных трех отношений, очевидно, не достаточно. Общая схема будет опреде­ляться постулатом, закладываемым в основу закона взаимодей­ствия этих трех отношений, и соответственно свойствами фор­мальной реализации такого закона взаимодействия. Прежде чем перейти к обсуждению предлагаемого закона взаимодействия, напомним некоторые свойства используемых от­ношений.

4.3. Формальное описание отношений в общей схеме экспертизы

Определение 1. Нечетким отношением между множествами X и Y называется нечеткое подмножество R прямого произведения В случае, если Y=X, то отношение R называет­ся отношением на множестве X.

В теории нечетких множеств рассматривается понятие компо­зиции нечетких отношений.

Определение 2. Пусть R — отношение между X и Y, а S — от­ношение между Y и Z. Композицией S ° R отношений R и S называется отношение Т между X и Z с функцией принадлеж­ности

В терминах композиции бинарных отношений формулируются многие свойства этих отношений, в частности, свойство транзи­тивности нечеткого отношения R, заданного на данном множестве X, которое может быть записано в виде

Таким образом, нечеткое отношение R называется транзитив­ным, если для всех Помимо свойства транзитивности бинарные отношения характе­ризуются также свойствами рефлексивности (антирефлексивности) и симметричности (антисимметричности). Отношение R называет­ся рефлексивным, если для всех (соответствен­но антирефлексивным, если для всех , называет­ся симметричным, если (антисимметричным, если из следует

Простейшими нечеткими отношениями предпочтения являются отношение нечеткого частичного порядка и отношение нечеткого линейного порядка. Нечеткий частичный порядок определяется как антисимметричное, транзитивное отношение, а отношение ли­нейного нечеткого порядка как связное отношение частичного по­рядка, т. е. такое отношение частичного порядка, что для любой пары (х, у) или > или Так, определенные отношения суть естественная экспликация соответствующих типов четких отношений.