Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 66 )

Рассмотрим структуру выпуклого множества, обладающего единственным максимальным элементом. В этом случае, как следует из изложенного, все точки множества X лежат между минимальным и единственным максимальным элементами. Обоз­начим через минимальный и максимальный элемен­ты множества X соответственно. Очевидно, что Обоз­начим через d мощность разности отношений т. е.

Рассмотрим структуру множества всех отноше­ний (не обязательно частичных порядков), лежащих между . Каждое такое отношение получается добавлением к от­ношению Pmin некоторого подмножества из Тем самым множество всех отношений, лежащих между имеет ту же структуру, что и множество всех подмножеств Поскольку множество всех подмножеств естественным образом отождествляется с вершинами d-мерного куба, то и множество всех отношений, лежащих между имеетту же структуру. При этом отношения соответствуют

противоположным вершинам такого куба.

Однако не все вершины построенного таким образом d-мерного куба соответствуют частичным порядкам. Все эти отноше­ния являются антисимметричными, так как они содержатся в частичном порядке Рmах. Так как эти отношения можно выписы­вать последовательно, то, проверяя каждое из них на транзитив­ность, мы можем выделить среди 2d вершин те из них, которые соответствуют отношениям частичного порядка.

В случае, если в выпуклом множестве X имеется несколько максимальных элементов, то все множество X является подмно­жеством объединения кубов, соответствующих всем парам

При этом два куба, соответствующие инцидентны по грани, соответствующей паре

В общем случае рассмотрим грань, по которой инцидентны все кубы, соответствующие имеющимся в X максимальным эле­ментам. Из предыдущих построений следует, что эта грань является кубом, соответствующим где Pk — частичный порядок, являющийся пересечением всех максимальных элементов из X.

8.2. Базис и ядро в пространстве

Как уже указывалось выше, любое выпуклое множество порождается множеством, состоящим из минимального эле­мента множества X и всех его максимальных элементов. Однако априори не очевидно, что для построения выпуклого множества X необходимо использовать все максимальные элементы этого множества. В общем случае множество X является выпуклой обо­лочкой множества, состоящего из минимального и некоторого собственного подмножества максимальных элементов. Введем следующее

Определение 8.1. Базисом выпуклого множества X назовем произвольное подмножество множества всех максимальных эле­ментов из X, которое вместе с минимальным элементом порож­дает X.

Из рассмотрения в предыдущем параграфе структуры выпук­лого множества в пространстве следует, что существует максимальная грань, по которой инцидентны все кубы, соответ­ствующие парамгдепробегает множество всех базисных элементов. Эта грань является кубом с вершинами

где есть пересечение всех максимальных эле-

ментов в X. С геометрической точки зрения точки этого куба образуют выпуклое множество, расположенное «однородно» от­носительно исходного выпуклого множества. Это позволяет ввести следующее

Определение 8.2. Ядром выпуклого множествабудем

называть множество всех точек, лежащих между минимальной точкой и пересечением всех базисных точек в X.

Пересечение всех максимальных точек из базиса будем на­зывать ядерным отношением и обозначать Pk.

Выделим два возможных крайних случая. Первый, когда в множестве X имеется всего лишь одна максимальная точка. В этом случае все точки множества X лежат между минималь­ной и данной максимальной точками и ядро совпадает с самим множеством X. Второй случай имеет место тогда, когда ядро состоит из одной точки. Эта точка является минимальной точкой, которая является пересечением всех максимальных точек.

Возвращаясь к содержательной постановке задачи (раз. 3), на­помним, что выпуклая оболочка представляет собой множество всех возможных групповых решений. В силу «однородности» рас­положения точек ядра относительно выпуклой оболочки исход­ного множества предпочтений, естественно считать отношения, принадлежащие ядру, отношениями, допустимыми для поиска групповых решений. С этой точки зрения ядро является мно­жеством допустимых групповых решений.

8.3. Геометрические структуры в пространстве

Напомним, что точками пространства служат все квази-

транзитивные отношения слабого предпочтения R на фикси­рованном конечном множестве А. Условие квазитранзитивности отношения R состоит в том, что соответствующее ему отноше­ние строгого предпочтениядолжно быть транзитивным отношением, т. е. частичным порядком. Тем самым отображение i, заданное условием является биективным отображением пространства на пространство

Отметим важные свойства отображения i. Во-первых, оно обращает символ включения для отношений. Точнее, из следует Во-вторых, при отображении i пересечение отображений переходит в объединение образов и наобо­рот. Таким образом,

Так как основные геометрические структуры в пространст­вах бинарных отношений вводились в терминах символов и то, используя терминологию теории структур, можно ска­зать, что i осуществляет дуальный изоморфизм пространств Используя этот дуальный изоморфизм, можно пере­нести все результаты, полученные для пространства на пространство (разумеется, в двойственной формулировке). Мы проиллюстрируем это положение, доказав полноту простран­ства

Лемма 8.3. Объединение двух квазитранзитивных предпочте­ний есть снова квазитранзитивное предпочтение.

Доказательство. Пусть где R1 и R2 —

Квазитранзитивные предпочтения. Имеем Так какесть частичный порядок, то R есть квазитранзитивное предпочтение.

Лемма 8.4. Если Ri и R2 — два соседних квазитранзитивных предпочтения, то их симметрическая разность есть одноэлемент­ное множество.

Доказательство. Рассмотрим отношения и

в пространстве Если в этом пространстве су-