Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 87 )

Таким образом, мы установили, что т. е.

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Из леммы 12.3 и 12.4 получаем следующую теорему.

Теорема 12.3. В полном пространствевыпуклая оболочка

произвольного множества X совпадает с множеством точек Парето

В заключение рассмотрим связь между выпуклыми оболочками в пространствеи пространстве всех нечетких бинарных

отношений на данном множестве А. Очевидно, что т. е. любое множество X в пространствеможно рассматривать как множество точек пространства Для данного множества X из пространства можно рассматривать в этом случае две выпуклые оболочки: — выпуклую оболочку в пространстве — и— выпуклую оболочку в пространстве Множества ирассматриваемые как

подмножества пространства вообще говоря, различны. Оче-

видно лишь, что

Для полных же пространств справедлива

Теорема 12.4. В полном пространстве выпуклая оболочка

любого множества X есть пересечение пространствас выпук-

лой оболочкой X в пространстве

Доказательcтво: Так как_ — полные простран­ства, то и где

— множество точек Парето множества X в пространствах соответственно. Очевидно, откуда и следует утверждение теоремы.

На этом мы закончим рассмотрение геометрической структуры произвольных пространств нечетких отношений. Наши последую­щие построения будут связаны с конкретным пространством — пространством нечетких частичных порядков Это пространство является полным пространством, и для него спра­ведливы все предыдущие результаты. Использование специальных свойств нечетких частичных порядков позволяет, однако, прове­сти более детально изучение структуры пространства В частности, мы определим метрическую структуру на и рас­смотрим проблему группового выбора для этого пространства. В данной работе мы ограничимся рассмотрением только этого пространства нечетких предпочтений, что в общем не является сильным ограничением, так как любое строгое предпочтение мо­жет рассматриваться как частичный порядок.

13. Пространство нечетких частич­ных порядков

В этом разделе мы будем изучать пространство нечетких частич­ных порядков (сокращенно т. е. множество всех нечетких бинарных отношений частичного порядка на фиксированном мно­жестве А. Для этого пространства, в силу достаточно простой структуры нечеткого бинарного отношения частичного порядка, удается получить более глубокие результаты, чем для произволь­ных пространств нечетких бинарных отношений. В част­ности, на пространстве будет исследована метрическая структура, доказана полнота этого пространства, и на основе это­го построена теория выпуклых оболочек и ядер в этом про­странстве.

13.1. Полнота пространства

В разделе 12 было доказано, что полнота пространства нечетких отношений является достаточным условием для совпадения поня­тий выпуклая оболочка и множество точек Парето. Понятие «пол­нота» существенно не только для решения проблемы группового выбора, т. е. описания точек Парето, но и для наиболее простой реализации метрического подхода.

Перейдем теперь к исследованию условия полноты в простран­стве Для доказательства полноты пространства в си­лу определения 12.8 необходимо для любой пары различных точек Р и Q пространства построить основу некоторого линейно­го сегмента между точками Р и Q. Установим справедливость следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 13.1. Пересечение любого множества отношений нечеткого частичного порядка есть нечеткий частичный порядок ( например, пересечение двух нечетких частичных порядков есть сно­ва нечеткий частичный порядок.).

Доказательство. Пусть — произвольная совокупность нечетких частичных порядков. Их пересечение Р есть не­четкое бинарное отношение с функцией принадлежности

Очевидно, что Р — антирефлексивно, т. е. Докажем транзитивность Р. В силу транзитивности каждого Pi имеем для любого

что и требовалось доказать.

Как следует из доказанной леммы, для установления полноты пространства достаточно построить основу линейного сегмента между точками Р и Q для случая, когда Действи-

тельно, частичный порядок содержится и в Р и в Q и лежит между Р и Q. Поэтому объединение линейных сегментов между Р и и между и Q и дает нам линейный сегмент между Р и Q.

Лемма 13.2. Пусть Тогда существует точка Р' в про-

странстве соседняя к Q u такая, что

Доказательство. Пусть А = {а1, а2, ..., ап} — нумерация, согласованная с Q. Очевидно, что эта нумерация будет согласо­вана и с Р. Выберем наибольшее i такое, что существует j такое, что Так как то такое i существует.

ПоложимВыберем наименьшее j такое, что Положим b=аj. Определим следующим образом функ­цию принадлежности отношения Р':

Покажем, что Р' — частичный порядок. Очевидно, что Р — антирефлексивное отношение. Для доказательства транзитивности установим, что

(*)