Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 62 )

из которые совпадают с отношением где Р — квази-

транзитивное отношение. Другими словами, отношения из суть отношения неразличимости для отношений из В данной работе это пространство не изучается.

Самостоятельной и интересной представляется задача расши­рения этой схемы или за счет введения в нее других, часто ис­пользуемых в приложениях и теоретических исследованиях от­ношений, или за счет пространств с несколькими отношениями, например, с отношением древесного порядка и лексикографиче­ского порядка и т. п.

Таким образом, изображенная на диаграмме 3.5 система про­странств бинарных отношений в наглядной форме представляет мир таких пространств. Она позволяет указать место как уже изученных в метрическом подходе пространств, так и тех, кото­рые будут рассматриваться в данной работе. Выявленные связи между пространствами будут использованы для переноса поста­новок задач и методов их решения из одних пространств в другие.

7. Геометрические структуры пространств бинарных отношений

При обсуждении основных положений геометрического под­хода в разделе 3 мы уже отмечали, что в настоящее время наибо­лее распространенным является подход, при котором для реше­ния задачи группового выбора в пространстве отношений дан­ного типа вводится метрическая структура. Она вводится на основе общих сложившихся геометрических представлений и концепций. В основе вводимых расстояний лежит система аксиом, одна из которых вводит важное геометрическое понятие «меж­ду». Это понятие является единственным общим понятием для метрического и разрабатываемого здесь геометрического подхода.

Понятие «между» лежит в основе теоретических построений в геометрическом подходе и в нашем контексте несет естествен­ную смысловую нагрузку, например, в утверждениях типа «одно отношение предпочтения лежит между двумя другими» или в заданиях вида «найти отношение предпочтения, лежащее между данными». Эти высказывания не содержат в себе ничего необыч­ного.

Ситуация, стоящая за ними, чрезвычайно жизненна и с дав­них времен привлекает к себе внимание. Для примера укажем на, по-видимому, первую и простейшую как по форме, так и по содержанию постановку задачи принятия решения, сформулиро­ванную (как принято считать), в первой половине XIV века французским философом Ж. Буриданом в известной притче об осле: осел, очутившись между двумя совершенно одинаковыми охапками сена не мог ни одну из них предпочесть другой, т. е. решить, какую из них выбрать, и околел от голода. Несмотря на, казалось бы, шутливый характер этого примера, можно ска­зать, что изложенная в нем в аллегорической форме ситуация выбора с незначительными вариациями составляет основу доброй половины задач, решаемых с помощью экспертов. Другая поло­вина представляет собой «зеркальное отражение» этой ситуации в том смысле, что организаторы экспертиз хотят попасть в по­ложение героя притчи, т. е. найти решение, которое лежало бы одновременно между всеми суждениями экспертов. (Пожалуй, и в наше время привлечение большинства современных научных методов для решения задачи «буриданова осла» вряд ли помогло бы последнему избежать летального исхода, исключая разве что только голосование при нечетном числе экспертов и запрете воз­держиваться от голосования.)

В обычной евклидовой геометрии мы имеем представление о расположении одной точки пространства между двумя другими: точка А лежит между точками В и С, если она лежит на отрез­ке прямой, соединяющей В и С, при этом сумма расстояний от точйи А до точек В и С, равна расстоянию между В и С. В тер­минах понятия расстояния между отношениями тот факт, что отношение А находится между отношениями В и С характери­зуется аналогично. Различие в природе евклидова пространства и пространства отношений в последнем случае проявляется в определении понятия «линейный сегмент», заменяющего для пространств отношений понятие «отрезок прямой».

Наш особый интерес к понятию «между» связан с тем, что при согласовании индивидуальных предпочтений групповое ре­шение естественно искать среди множества всех тех предпочте­ний, которые расположены «в середине между» исходными пред­почтениями. Такие, лежащие между исходными, множества пред­почтений названы в данной работе выпуклыми множествами.

В этом разделе теория выпуклых множеств строится для про­извольных пространств бинарных отношений. В дальнейшем мы не будем различать точки пространства и соответствующие им бинарные отношения. Всюду в этом разделе рассматривается фиксированное пространство Если это особо не оговорено, то мы считаем, что все рассматриваемые точки принадлежат этому пространству.

7.1. Отношение «между»

Начнем изучение структур пространств предпочтений с вве­дения двух определений понятия «между».

Определение 7.1. Отношение R лежит между отношениями R1 и R2, если

То обстоятельство, что отношение R лежит между отношения­ми R1 и R2 будет записываться так:

Первое определение понятия «между» для случая трех отно­шений R, R1 и R2 содержательно означает, что отношение R2, если оно лежит между отношениями R1 и R2 должно содержать то общее, что есть в отношениях R1 и R2 (т. е. содержать в себе пересечение этих отношений), и само содержаться в отношении, аккумулирующем R1 и R2. Эта интерпретация становится совер­шенно прозаической, если в ней всюду слово «отношение» за­менить на одно из синономичных в данном контексте слов: «суж­дение», «мнение», «высказывание».

Введенное определение «между» допускает естественное обоб­щение на случай произвольного числа отношений.

Определение 7.2. Отношение R лежит между отношениями

если

Запись будет обозначать, что точка R лежит между точками

Понятие «между» определяет некоторую геометрическую структуру пространства Наряду с этой структурой в простран­ствеимеется структура частично упорядоченного множества. Именно, предпочтение R1 предшествует (нестрого) предпочте­нию R2, если Это отношение частичного порядка на индуцирует отношение частичного порядка на любом подмно­жестве в В дальнейшем, говоря о максимальных и минималь­ных элементах различных подмножеств в пространстве мы будем иметь в виду минимальные и максимальные элементы этих подмножеств относительно этого порядка. Структура «меж­ду» и структура порядка на согласованы в том смысле, что из следует, что

Докажем вспомогательное утверждение, устанавливающее связь двух определений «между». Пусть — точки пространства

Лемма 7.1. Пусть для Тогда Доказательство. Согласно определению 7.2 имеем

Согласно определению 7.1

Из выписанных включений следует

откудачто и требовалось доказать.

Следствие. Пусть R' и R" лежат между R1 и R2. Тогда лю­бое R, лежащее между R' и R", лежит также и между R1 и R2. Пусть R' и R" — две различные точки в пространстве

Определение 7.3. Линейным сегментом между R′ и R" на­зовемпоследовательность различных точек такую, что