Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 8 )

1.2. Композиция двух нечетких отношений

Следующее соотношение определяет композицию ° нечеткого отношение между X и Y и нечеткого отношения между Y и Z:

°(х, z) = ( (x, y) (у, z)) x X z Z. (4-1)

Здесь означает наименьшую верхнюю грань множества элементов ( (x, y) (у, z)), где у пробегает все значения из Y. В силу полноты L эта операция всегда определена. Как нетрудно увидеть из (4-1), отношение °будет отношением между X и Z.

Кроме операции композиции (4-1), которая определяется с помощью основных операций решетки L, существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, которые вводятся в L. В зависимости от того, является ли L множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь и соответствующий вид.

Например, если L является множеством вещественных чисел, то операция в (4-1) может быть заменена на операцию взятия среднего арифметического, что даст другое определение операции композиции:

°(х, z) = (0,5( (x, y)+ (у, z)) x X z Z.

В случае L = [0, 1] соотношение (1.4-1) записывается в виде

(х, z) = ( (x, y) (у, z)) x X z Z. (5)

Замена в (5) операции на операцию умножения • дает следующее определение операции композиции:

(х, z) = ( (x, y) • (у, z)) x X z Z.

Мы здесь ограничимся рассмотрением свойств основной операции композиции (4-1). Свойства других операций композиции рассмотрим ниже. В дальнейшем будет предполагаться также, что X=Y и является нечетким отношением на множестве X.

Нечеткое отношение такое, что

играет относительно операции композиции (4-1) роль единицы: °=°=. В теории обычных отношений отношения называется отношением равенства. Для любого нечеткого отношения определяется также обратное ему отношение :

(х, у) = (у, х) x, у Х.

(Мах — min)-композиция. Пусть X×Y и = Y×Z;

(max—min)-композиция отношений и обозначается ° и определяется выражением

(х, z) = ( (x, y) (у, z))=

= [ MIN ( (x, y), (у, z))], (6)

где х Х, y Y, z Z.

Пример 1. Рассмотрим два нечетких отношения и , где

х, у, z R+. Предположим, что

(x, y)= е , k>1, (7)

(у, z)= е , k>1. (8)

Определим (х, z). Рассмотрим два значения х=а и z=b переменных х и z. Функции принадлежности (7) и (8) непрерывны на интервале [0, ∞]. В ссответствии с (6) можно записать

(а, b) = [ (a, y) (у, b)]= [ е е].