Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 4 )

тогда говорят, что содержит или содержится в .

Заметим, что, если содержит .

Пример 3 (рис. 6). Легко проверить, что содержит .

Рис. 6.

Пример 4. Рассмотрим нечеткое отношение х у, где х R+, у R+, такое, что у»х, т. е. «у много больше х», и пусть функция принадлежности этого отношения определяется выражением

Пусть теперь k2>k1; тогда отношение с функцией принадлежности

содержит (рис. 7).

Рис. 7.

Объединение двух отношений. Объединение двух отношений и обозначается или + и определяется выражением

(x, у)= (х, у) (х, у)=MAX [ (х, у), (х, у)]

Если , ,..., — отношения, то

(x, у)= (x, у).

Результат объединения обозначим

или .

Пример 1 (рис. 8).

Рис. 8.

Пример 2. На рис. 9, а изображено нечеткое отношение х у, где х R+, у R+, содержательно означающее, что «числа х и у очень близкие».

Рис. 9.

На рис. 9, б изображено нечеткое отношение х у, где хR+, уR+, содержательно означающее, что «числа х и у очень различные».

Отношение х у, содержательно означающее, что «числа х и у очень близкие или/и очень различные», определяется кривой μ3 (x, у):

где α — такое значение |у — х|, при котором

В логике, которая основана на теории обычных множеств, такое высказывание как «х и у очень близкие или(и) очень различные» должено быть сокращено до «х и у очень близкие или очень различные» с разделительным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложение вполне логично; она выражает тот факт, что связка «и» интерпретуема при очень малых значениях функций принадлежности, когда об х и у нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга.

Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений и обозначается и определяется выражением

(x, у)= (х, у) (х, у)= MIN [ (х, у), (х, у)]

Если , ,..., — отношения, то

(x, у)= (x, у).

или .

Результат обозначим

.

Пример 1 (рис. 10). Рассмотрим снова данные, представленные на рис. 8.

Рис. 10.

Пример 2. На рис. 11, а изображено нечеткое отношение ху, где х R+, у R+, означающее, что «модуль разностей |у — х| очень близок к α». На рис. 11, б представлено аналогичное отношение

«|у — х| очень близко к β» (β> α).

Рис. 11.

На рис. 11, в показано, как получить

=