Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 13 )

где обозначает (max—min)-композицию.

Пример.

1.3. Нечеткое подмножество, индуцированное отображением

Рассмотрим отображение Г множества Х в множество Y, обозначенное

Х ~ Y

где х Х и у Y.

у Г{х}.

Пусть (х) — функция принадлежности нечеткого подмножества Х, тогда отображение Г индуцирует в Y нечеткое подмножество Y с функцией принадлежности

(у)=

Пример 1 (рис. 29). Пусть

Х = {х1, х2, х3, х4, x5, x6, x7},

Y = {y1, у2, y3, y4}.

Рассмотрим отображение, такое, что

Г{х1}={y3}, Г {x2} = {y1, y4},

Г {x3} = {y1}, Г {x4} = { y3},

Г {x5} = {y1}, Г{x6}= {y2},

Г {х7} = {у4}.

Рассмотрим также отображение Г-1, обратное Г:

Г-1{y1}= { x2, x3, х5},

Г-1{y2} = { х1, х6},

Г-1{y3}= {х4}, Г-1{y4}= {х2,х7}.

И, наконец, рассмотрим нечеткое подмножество Х:

= {(x1| 0,3), (x2| 0,7), (x3| 1), (x4| 0), (х5| 0,2), (x6|0,9), (х7|0,8)}.

Тогда имеем

Эти результаты изображены на рис. 29.

Рис. 29.

Интересно сравнить это понятие с соответствующим понятием для обычных подмножеств. Рассмотрим рис. 30

Рис. 30.

Пусть

Х = {x1, х2, x3, x4, х5, х6, х7, х8},

Y = {у1, у2, у3, у4, у5}.

Имеем

Г {x4, х5, х6, х8} = {y1, y2, y3}.

Отображение Г подмножеству А = {x4, х5, х5, х8} ставит в соответствие подмножество В = {y1, у2, y3}.

Пример 2. Пусть x R, у R, где R — множество действительных чисел. Рассмотрим нечеткое подмножество, которое определено содержательно как «х, ближайшее к (4k + 1) π/2, k = ..., — 2, — 1, 0, 1, 2, ...». Рассмотрим также функцию

y = f(x) = sin x.

Тогда нечеткое подмножество , индуцированное f (х), будет иметь вид

= {y | y≤ 1 и значение y близкое к 1}

(рис. 31).

Рис. 31.

1.4. Условные нечеткие подмножества

Нечеткое подмножество (х) Y будет называться условным на Х, если его функция принадлежности зависит от х Х как от параметра.

Для записи условной функции принадлежности используют обозначение

(у||х), где х Х и у Y.

Эта функция определяет отображение X в множество нечетких подмножеств, определенных на Y.

Таким образом, нечеткое подмножество Х будет индуцировать нечеткое подмножество Y с функцией принадлежности

(y) = (MIN [ (у||х), (х)]). (35)

Пример. Рассмотрим нечеткое отношение между

X = {x1, x2, x3, х4, х5, х6}

Y = {y1, y2, y3},

определенное следующей таблицей:

Отношение выражает условную функцию принадлежности

(у||х).

Например,

(у3||х5) = 0,4.

Предположим, что в X имеется нечеткое подмножество , определенное как

= {(x1|0,5), (x2|0,2), (x3|0,8), (x4|1), (х5|0,7), (х6|0)}.

Этому нечеткому подмножеству Х соответствует нечеткое подмножество в Y, скажем Y, которое будет определяться формулой (1.35). Проведем вычисление. Сначала подсчитаем (у1). Имеем

MIN [ (у1||х1), (х1)] = MIN [0,3; 0,5] = 0,3,

MIN [ (у1||х2), (х2)] = MIN [0,2; 0,2] = 0,2,

MIN [ (у1||х3), (х3)] = MIN [1; 0,81 = 0,8,

MIN [ (у1||х4), (х4)] = MIN [0; 1] = 0,

MIN [ (у1||х5), (х5)] = MIN [0,3; 0,7] = 0,3,

MIN [ (у1||х6), (х6)] = MIN [0,8; 0] = 0,

MIN [ (у1||хi), (хi)] = MAX [0,3; 0,2; 0,8; 0; 0,3; 0] = 0,8.

Аналогичные подсчеты нужно провести для y2 и y3. Тогда получим (у1) = 0,8, (у2)=l, (у3) = 0,8.

Таким образом,

= {( y2|0,8), (y2|1), (y3|0,8)}.

Другое представление условного нечеткого подмножества. Как мы увидим ниже, для нечетких подмножеств выражение (35) играет ту же самую роль, что и понятие функции для элементов формальных множеств. Понятие функции для этих элементов можно выразить такой фразой: «если х=а, то в соответствии с определением функции f у =b», которую можно записать в виде