Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 46 )

Важную роль в теории нечетких бинарных отношений играет понятие нечеткой эквивалентности. Отношение нечеткой эквива­лентности определяется как рефлексивное, симметричное, транзи­тивное нечеткое отношение.

В теории принятия решений рассматриваются отношения пред­почтения. Такими отношениями называются рефлексивные, связ­ные бинарные отношения. Опишем общую структуру нечетких предпочтений.

Пусть R — такое отношение, т. t. рефлексивное и связное би­нарное отношение. Обозначим через I бинарное отношение с функцией принадлежности и через Р —

бинарное отношение с функцией принадлежности:

Отношения I и Р называются отношениями безразличия и стро­гого предпочтения для отношения R.

Теорема 1. Если R — транзитивное нечеткое отношение пред­почтения, то отношения I и Р также будут транзитивными.

Доказательство. Для отношения I утверждение теоремы дока­зано в ряде работ. Покажем, что отношение Р транзитивно. Надо показать, что

(1)

Очевидно, можно считать, чтоОднако-

Тогда причем Если то и (1) совпадает с условием транзитивности отноше­ния R. Предположим, что Тогда или Итак, имеем и Среди этих шести чисел выберем наименьшее. Очевидно, возможны три случая:

A. Наименьшее есть Тогда

Так как не наименьшее, то и

Но Так как — наименьшее число, то одно из значений тоже должно быть наименьшим, что противоречит исходным неравен­ствам.

Б. Наименьшее есть Тогда

откуда — наименьшие. Так как

то получаем противоречие.

B. Наименьшее есть Тогда

Но заведомо не наименьшие, и опять получаем противоречие.

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. транзитивность отношений І и Р, вообще говоря, не влечет транзитивности отно­шением R.

Наиболее существенно будет использоваться свойство транзитивности отношения строгого предпочтения Р. Это связано с тем, что условие транзитивности отношения Р доста­точно для существования функции выбора, определяемой отно­шением Р.

Описанная в разд. 4.2 общая схема проведения экспертных оце­нок предусматривает возможность использования как нечетких, так и четких отношений. Заметим, что предыдущие опре­деления классов нечетких отношений и свойств этих отношений дают соответствующие четкие понятия, если считать, что функция принадлежности μ принимает только значения 0 и 1.

4.4. Закон взаимодействия отношений

Пусть заданы два множества X и Y с нечеткими отношения­ми R и S на них соответственно. Пусть также задано нечеткое отношение F между X и Y. Кортеж будем называть согласованной схемой, если выполнено соотношение

(2)

где

Отметим, что на языке теории множеств согласно закону (2) отношение R является прообразом отношения S относительно соответствия F.

Одна из проблем, возникающих при исследовании закона (2), состоит в изучении того, какие из свойств транзитивности отно­шения S в соответствии с этим законом переносятся на отноше­ние R. При произвольном выборе отношения F нельзя, вообще говоря, утверждать выполнение свойства транзитивности отноше­ния R, даже если отношение S — четкое. Однако при некоторых дополнительных условиях на отношения F и S можно доказать, что свойство транзитивности отношения Р выполняется для отно­шения R. Доказательству этого посвящена оставшаяся часть раз­дела.

Сначала введем важное свойство нечеткого отношения F, ко­торое в дальнейшем будет предполагаться выполненным постоян­но. Будем говорить, что отношение F функционально, если оно удовлетворяет условию: для любого хХ существует единствен­ное уY, такое, что Другими словами, предполагает­ся, что в каждой строке матрицы отношения F найдется элемент, равный 1.

Далее докажем теоремы, устанавливающие транзитивность строгого отношения предпочтения Р для предпочтения R, опреде­ляемого законом (1) в следующих двух частных случаях:

1) S — четкое отношение линейного порядка, a F— нечеткое отношение, обладающее свойством функциональности;

2) S — нечеткий линейный порядок, F — четкое отображение

Теорема 2. Пусть Тогда Р — четкий частичный

порядок, если S — четкий линейный порядок, a F — нечеткое ото­бражение

Доказательство. Рассмотрим функцию принадлежности отно­шения

Так как F обладает свойством функциональности, то для каж­дого х существует единственный элемент ух, такой, что 1. В силу того, что S есть четкий линейный порядок, для каж­дой пары (x1, x2) либо и либо, наобо­рот, и либо

В первом случае имеем иоткуда

Аналогично во втором случае полу­чаем Наконец, в третьем случае Итак, показано, что отношение Р четкое. Покажем, что Р транзитивно. Пусть Но тогда и и в силу транзитивности S откуда Предположим, что также Но тогда что противоречит предположению Полученное противоречие показывает, что μP(x1,x3) = 1, что и требовалось доказать.