антисимметричности

Тогда и в силу условий

антисимметричности

Тогда и в силу условий антисимметричности и антирефлексивности Итак,

Отсюда следует, что

14.2. Построение единственного группового решения

Модель пространстваи взаимнооднозначное отображение Ф этого пространства в модель, построенные в предыдущем параграфе, позволяют предложить следующий подход к построе­нию единственного группового решения. Обозначим через fср среднее арифметическое образов исходных точек, выпуклой обо­лочкой которой является ядро. Вообще говоря, прообраз fср хотя и является антисимметричным отношением, может не принадле­жать пространству так как может оказаться нетранзи­тивным.

Рассмотрим в пространствеотрезок, соединяющий точки

(образ минимального отношения из ядра) и и на этом отрезке выберем точку, прообраз которой принадлежит простран­ству ближайшую к Прообраз этой точки принимается за групповое решение, соответствующее исходным данным, для которых было построено ядро.

На рис. 14.2 приведена блок-схема алгоритма, реализующего поиск определенного выше группового решения.

Рис. 14.2.

Для работы ал­горитма необходимо задать точность ε, с которой будет опреде­лено групповое решение. Алгоритм последовательно, начиная с fср, с шагом равным е перебирает точки отрезка до тех

пор, пока не будет получена точка, прообраз которой транзитивен. Число шагов алгоритма не большегде

14.3. Проекции нечетких отношений

Важную роль в теории нечетких множеств играет понятие проекции нечеткого отношения. Дадим определение проекции бинарного нечеткого отношения.

Пусть \mu_{Q}(x,y)— функция принадлежности нечеткого отношения в {U\times V}. Проекции Q_{U}и Q_{V}отношения Q на U и V— есть множества в U и V с функцией принадлежности вида

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

\begin{gathered}

Условной проекцией нечеткого отношения Q на U, при произвольном фиксированном y_{0}\in V, называется множество PU с функцией принадлежности вида \(\mu _{P_U } (x|y_0 ) = \mu _Q (x,y_0 )\).

Аналогично определяется условная проекция на V при заданном x_{0}\in U:

\mu _{P_V } (y|x_0 ) = \mu _Q (x_0 ,y).

Из данного определения видно, что проекции QU и QV не влияют на условные проекции PU и PV, соответственно. Дадим далее определение, которое учитывает их взаимосвязь.

Условные проекции второго типа определяются следующим образом:

\begin{gathered}

Если \(\mu _{Q_V } (y_0 ) = 0\)или \(\mu _{Q_U } (x_0 ) = 0\), то полагаем, соответственно, что \(\mu _{P_U } (x|y_0 ) = 0\)или \(\mu _{P_U } (y|x_0 ) = 0\).

Заметим, что условные проекции первого типа содержатся в соответствующих проекциях второго типа.

Пусть U и V— базовые множества, Q — нечеткое отношение в U\times Vи QU и QV — его проекции на U и V, соответственно.

Нечеткие множества QU и QV называются независимыми, если

Q= Q_{U}\times Q_{V}.

Следовательно, они независимы по первому типу, если

\mu

и независимы по второму типу, если

\mu

В противном случае проекции QU и QV являются зависимыми (соответствующего типа).

Независимость второго типа можно интерпретировать следующим образом. Данные соотношения с учетом произвольности x_{0}и u_{0}перепишем в виде

\begin{gathered}

14.4. Классы нечетких отношений

Все типы нечетких отношений в зависимости от свойств, которыми они обладают, могут быть разделены на три больших класса. В первый класс входят симметричные отношения, которые обычно характеризуют сходство или различие между объектами множества X. Второй класс образуют антисимметричные отношения; они задают на множестве X отношения упорядоченности, доминирования, подчиненности и т. п. Третий класс состоит из всех остальных отношений.

Отношения каждого класса, в свою очередь, могут быть разделены на подклассы в зависимости от выполнения условий рефлексивности и антирефлексивности.

Рефлексивные и симметричные отношения обычно называют отношениями сходства, толерантности, безразличия или неразличимости. В дальнейшем эти отношения будем называть отношениями сходства и обозначать буквой S. Антирефлексивные и симметричные отношения называются отношениями различия и обозначаются буквой D. Отношения сходства и отношения различия двойственны друг другу. Антисимметричные отношения, называемые предпорядками и обозначаемые буквой P, в зависимости от выполнения условия рефлексивности или антирефлексивности делятся на нестрогие и строгие порядки.

Из отношений третьего класса, обозначаемых буквой R, обычно выделяют лишь рефлексивные отношения, которые будут называться слабыми порядками.

На следующем уровне классификации из каждого класса отношений могут быть выделены отношения специального вида. Определяющим условием для них является условие транзитивности. Оно устанавливает связь между силой отношения для различных пар объектов из X. Эта связь может быть очень слабой, а может накладывать достаточно сильные ограничения на возможные значения силы отношения между объектами из X. Число отличающихся друг от друга условий транзитивности зависит от типа отношения, для которого они формулируются.

Условия транзитивности зависят от вида операций, с помощью которых они определяются. Наиболее общими условиями транзитивности являются условия, определяемые с помощью решеточных операций \veeи \wedgeв L. Более частыми являются условия, определяемые с помощью дополнительных операций в Lи зависящих от конкретного вида L. В этих случаях указывается вид соответствующего множества L. Далее мы будем рассматривать нечеткие отношения, определенные на множестве L=[0, 1].

Отношения сходства и различия

Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированных взвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из X указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.

Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде

S \supseteq S \circ S,

которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103