Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 64 )

Так как по определению линейного сегмента, то откуда Так как Отсюда найдется номер i такой, что Покажем, что Действительно, так как и Далее, так как Итак,Но а что противоречит выпуклости X.

Полученные противоречия показывают, что что и

требовалось доказать.

Из доказанных лемм непосредственно следует, что справедлива

Теорема 7.2. Для полного пространства оба определения выпуклости эквивалентны.

Доказанные теоремы позволяют исследовать в полных прост­ранствах аналог геометрического понятия выпуклой оболочки множества.

Пусть теперь X — произвольное множество в пространстве бинарных отношений .

Определение 7.6. Выпуклой оболочкой множества X в прост­ранстве называется наименьшее выпуклое множество, содер­жащее X (понимая выпуклость в смысле определений 7.4 или 7.5).

Выпуклые оболочки множества X будем обозначать через соответственно определениям выпуклости 7.4 и 7.5. Так как само пространство—выпуклое множество и содержит X, а пересечение выпуклых множеств, как нетрудно видеть,— выпуклое множество, то выпуклая оболочка существует для лю­бого множества X. Легко проверить, что она определяется един­ственным образом и совпадает с пересечением всех выпуклых множеств, содержащих X.

Наличие двух определений выпуклости и соответственно — двух вариантов выпуклой оболочки позволяет дать два способа построения выпуклой оболочки. Используем сначала определение С(Х). Для данного множества X обозначим через X' множество, полученное добавлением к X всех точек, лежащих между пара­ми точек из X. Введем обозначения:

Очевидно, что Так как число точек в пространстве конечно, то последовательность вло­женных множеств Xi стабилизируется, т. е. найдется номер N такой, что а

Лемма 7.5. В предыдущих обозначениях для любого пространства

Доказательство. Пусть и

Имеем Нопо определению N. Итак, ХN выпуклое множество. Пусть Y — выпуклое в смысле определе­ния 7.4 множество и Очевидно, что для всех i. В частности, откуда следует, что XN — минимальное выпуклое множество, содержащее X.

Выпуклую оболочку можно построить также, исходя из опре­деления П(Х). Для заданного множества опре­делим множество всех R таких, что

Лемма 7.6. Для полного пространства

Доказательство. Согласно лемме 7.1 —выпуклое множество в смысле определения 7.5. С другой стороны, если — выпуклое множество, то в силу определения 7.5. Отсюда следует утверждение леммы.

Лемма 7.7. Пусть X — подмножество в произвольном прост­ранстве Тогда

Доказательство. Следует непосредственно из следствия к лемме 7.1, леммы 7.5 и леммы 7.6.

Теорема 7.3. Для произвольного подмножества X в полном пространстве бинарных отношений

Доказательство. Как следует из леммы 7.6, достаточ­но показать, что Так както в силу оп­ределения выпуклой оболочки имеем Но по теореме.2 для полного пространства бинарных отношений откуда и следует доказываемое включение. Теорема доказана.

Результаты этой главы, сформулированные здесь во всей общности для произвольных пространств бинарных отношений, применимы и к пространствам предпочтений и без­различия.

7.3. Выпуклые оболочки и проблема группового выбора

В предыдущем параграфе мы ввели в рассмотрение класс пространств бинарных отношений — полные пространства. Для полных пространств оказалось, что два различных варианта оп­ределения выпуклости дали один и тот же результат, точнее, соответствующие этим определениям выпуклые множества отно­шений совпадают. Этот факт в свете проблем группового выбора представляет для нас определенный интерес. Если первое опре­деление выпуклой оболочки, базирующееся на первом определе­нии щшятия «между» и первом определении выпуклости, имеет ярко выраженную геометрическую основу и является полным аналогом соответствующего понятия в евклидовой геометрии, то — второе определение связано с важным понятием в теории груп­пового выбора. Именно, оно представляет собой не что иное, как формализацию хорошо известного условия Парето на прин­цип согласования отношений индивидуального предпочтения: «ес­ли все индивидуумы предпочитают объект а объекту b, то и в групповом отношении объект а должен быть предпочтительнее b. Точно так же, если все члены группы безразличны в выборе между а и b, таково же должно быть групповое решение».

Построенное групповое множество как раз и состоит из от­ношений, удовлетворяющих этому условию, и поэтому выбор единственного группового решения естественно производить из отношений, составляющих это множество. Однако не все точки выпуклой оболочки «равноправны» в том смысле, что некоторые из них расположены ближе к одним исходным точкам (мнениям), чем к другим. Кроме того, число отношений, составляющих вы­пуклую оболочку исходного множества отношений, в практиче­ских приложениях может оказаться столь велико, что задача вы­бора окончательного решения на первом уровне будет трудно­разрешимой. Поэтому здесь открываются широкие возможности для создания различных способов сокращения числа или направ­ленного отбора отношений, из которых затем будет выбрано един­ственное групповое решение.

В следующих разделах задача направленного формирования множества допустимых групповых решений будет решена для трех конкретных пространств. Сейчас мы проиллюстрируем об­щую идею решения такой задачи. В конкретных задачах в каж­дом выпуклом множестве можно выделить подмножество точек, с геометрической точки зрения расположенных однородно отно­сительно исходных точек, порождающих выпуклую оболочку. Такое выделенное подмножество в дальнейшем будет называться ядром выпуклого множества. Ядро имеет простую геометрическую структуру: оно представляет собой выпуклое множество всех то­чек, лежащих между двумя точками, которые в дальнейшем бу­дут обозначаться Pmin и Pmax.