Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 56 )

Общий подход к определению адекватности намечен в ряде работ. Принимая во внимание, что основной объект наших рассмотре­ний — это совокупности утверждений о порядке предпочтений, определение адекватности мы дадим здесь в удобной для нас форме.

Прежде всего условимся, что под числовым утверждением для системыбудем понимать отношение или набор отношений вида где— некоторая числовая функция на Е, Р —

одно из отношений (например,

Определение 1. Числовое утверждение называется

адекватным, если для любого отношения и

эквивалентны.

Рассмотрим множество техдля которых выполняется

Наше определение требует, чтобы это множество было инвариантным относительно преобразований Геометрически это означает, что это множество — объединение некоторого числа орбит пространства Е. Последнее вытекает из следующего утверждения, которое в дальнейшем будет существенно исполь­зоваться.

Утверждение 1. Для того чтобы числовое утверждение было адекватно, необходимо и достаточно, чтобы множество тех х, для которых справедливо, было объединением некоторого чис-

ла орбит.

Для иллюстрации понятия адекватности разберем три примера.

Пример 1. Дано проверяется адекватность числового утверждения Для этого примера Е — 3-мерное пространство, Р — отношение >. Рассматривается шкала отношений. Так как для этого типа шкал допустимые преобразования — это преобразования подобия то для этой шкалы орбитами в пространстве Е будут лучи, выходящие из начала координат. Неравенство определяет полупространство в пространстве Е, которое, естественно, представляется объединением некоторого множества орбит. В силу утверждения 1 рассматриваемое числовое утверждение адекватно вшкале отношений.

Пример 2. Исследуем то же самое утверждение в шкале интерва­лов, допустимые преобразования в которой составляют линейные положи­тельные преобразования

Рассмотрим орбиту точки Тогда для любой точки принадлежащей орбите имеем или, в координатной записи, и т. д. Вектор Если пропорционален 1, то пропорционален 1 тоже, поэтому орбитой такой точки будет Если же это не выполняется, то множество векторов (орбита заполня­ет полуплоскость, проходящую через прямую и вектор Пространство Е в этом случае расслаивается на множество плоскостей (ор­бит), опирающихся на орбиту Для того чтобы 0

было адекватно, согласно утверждению 1 необходимо, чтобы опреде­ляемое этим неравенством полупространство представлялось в виде объеди­нения некоторого числа описанных полуплоскостей. Это не так в силу то­го, что направляющий вектор этого полупространства (1, 1, —1) не ортого­нален направляющему вектору (1, 1, 1) орбиты Полупрост­ранство, определяемое неравенством пересекает каждую орбиту и ни одной не содержит целиком. Следовательно, ут­верждение неадекватно в шкале интервалов.

Пример 3 мы «оживим» фабулой из экспертной практики. Пусть два эксперта производят упорядочение трех объектов В ка-

честве основания числовой системы используется множество натуральных чисел от 1 до 10. В таблице 1 приведены оценкиотражающие степени предпочтения экспертов.

Таблица 1

Определим понятие обобщенного среднего по Колмогорову:

где F(z) —строго монотонная функция, F-1(z) — обратная к ней. Зададим­ся целью выбрать одно из возможных средних для описания «среднего» группового упорядочения. Подсчитаем значения для четырех наиболее рас­пространенных видов средних: квадратичного, арифметического, геометри­ческого и гармонического (см. таблицу 2, где для наглядности эти значе­ния приводятся с точностью до постоянных множителей).

Таблица 2

Из таблицы 2 непосредственно видно, что выбранные средние дают нам четыре различных групповых упорядочения, из которых никакое не имеет очевидного преимущественного права представлять совокупность ис­ходных упорядочений.

В соответствии с определением 1 для того чтобы определить пригод­ность того или иного среднего представлять всю совокупность исходных упорядочений, нужно проверить адекватность набора утверждений, состоя­щего из совокупности исходных упорядочений и утверждения, полученного на основе выбранного среднего. Упорядочения должны быть записаны в виде числовых утверждений. Так, например, для среднего арифметического нужно рассматривать следующий набор числовых утверждений:

(*)

Легко привести пример, когда значение истинности утверждения (*) изменяется в результате применения монотонного преобразования. Рас­смотрим кусочно-линейную монотонную функцию, которая оставляет на ме­сте точки 1, 3, 5 и 10, а точку 9 переводит в точку 6 (рис. 2).

Рис. 2

Тогда два первых неравенства в системе (*) не изменятся, а третье примет вид

что соответствует изменению среднего упорядочения с на и, следовательно, значение истинности утверждения (*) из­менится. Отсюда следует известный факт: среднее арифметическое неадек­ватно в шкале порядка. Легко привести примеры, показывающие, что другие виды обобщенных средних тоже неадекватны.

Возникает вопрос, почему исполь­зование обобщенных средних для ха­рактеристики совокупностей ранжи­ровок дает разные результаты. Глу­бокая причина этого заключается в том, что при такой обработке ранги или значения представляющих их функций выступают в роли количе­ственной меры оцениваемых объектов, тогда как, по существу, они являются только метками, позволяющими лишь расставить объекты в соответствии с предпочтениями оценивающих их экспертов. Последовательное развитие этого замечания приводит к за­ключению, что под измерением в шкале порядка следует пони­мать в общем случае не значение представляющей функции на объекте, а всю ранжировку в целом. Другими словами, каждое отдельное измерение в шкале порядка множеству оцениваемых объектов ставит в соответствие некоторое бинарное отношение, например, квазипорядок. На введенном выше языке орбит это оз­начает, что порядковая информация о каждой орбите в простран­стве шкал Е представляется соответствующим орбите квазипо­рядком.