Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 57 )

Установление изоморфизма между множеством орбит в про­странстве шкал и множеством всех возможных (на фиксирован­ном носителе А) отношений данного типа позволяет, следователь­но, каждую орбиту заменить ее математической моделью — точ­кой, помеченной соответствующим орбите отношением. Заметим, что орбиты в пространстве шкал располагаются определенным образом, т. е. в каждом отдельном случае (см. примеры 1 и 2) в их расположении есть определенная структура. Для наведения на множестве помеченных точек структуры, удобной для наших дальнейших рассмотрений, естественно обратиться к привычному, сложившемуся геометрическому представлению о расстоянии. Та­ким образом, определение на множестве всех бинарных отно­шений данного типа метрической структуры d дает возможность исследовать совокупность индивидуальных предпочтений в рам­ках метрической модели.

Такая модель, следовательно, имеет два геометрических пред­ставления. Одно, как бы внешнее относительно модели, является следствием показанного изоморфизма между моделью и прост­ранством шкал Е, другое, внутреннее, индуцируется метрической структурой в самой модели.

Представление измерений в шкале порядка точками в модели заведомо снимает проблему адекватности *), поскольку при рабо­те внутри модели исходные точки уже не затрагиваются, не сдвига­ются: все дальнейшие операции производятся лишь с внутренней относительно модели характеристикой взаимного расположения точек — попарными расстояниями между ними. (Существуют и другие подходы к решению проблемы адекватности. Так, изложение теории измерений на языке допустимых преобразований, нацеленное на изучение адекватности, и решение задачи нахождения адек­ватных средних для наиболее распространенных шкал см. в работах ; в ряде работ описывается статистический подход к решению задачи нахождения адекватного среднего в шкалах по­рядка.) Проблема груп­пового выбора решается при этом указанием такой точки Т моде­ли, в которой достигается минимум суммы расстояний или суммы квадратов расстояний от Т до данных точек.

При анализе данной совокупности ранжировок сами ранжи­ровки не подвергаются обработке — функция расстояния обеспе­чивает основные данные, на которых уже работают самые разные аналитические аппараты.

Достоинства метрических моделей выявляются в приложениях к многообразным теоретическим и практическим задачам в раз­личных областях от «чистой» математики до полевых социологи­ческих исследований. Однако, как отмечается в ряде работ, существуют некоторые трудности использования таких моделей при анализе совокупностей экспертных суждений и поиске груп­пового решения.

Как указывается в ряде работ, недостатки данных о расстоянии с первого взгляда не кажутся очевидными. Для двух или другого небольшого числа ранжировок расстояния между ними или до какой-либо внутренней точки модели еще дают представление о структуре связей между ними. Однако, при большом числе оце­ниваемых объектов (>4) и большом числе исходных ранжировок никакого реального представления об их расположении и струк­туре связей составить невозможно. Ценность анализа таких дан­ных, например, методами факторного анализа или распознавания образов в значительной степени зависит уже от искусства, прояв­ляемого исследователем при интерпретации результатов примене­ния этих методов.

При построении метрической модели приходится вводить и определять довольно много понятий: «между», линейный сегмепт, путь, масштаб расстояния. При этом модель наделяется теми ха­рактеристиками, которые были использованы в определяемых понятиях и вводимых аксиомах. Второй недостаток метрической модели как раз и состоит в том, что при аксиоматическом опреде­лении функции расстояния вводятся положения, не всегда имею­щие эмпирическое обоснование или подтверждение. К таким по­ложениям можно отнести, например, условия равноправия объек­тов и равноценности места в ранжировании или связь масштаба расстояния с числом оцениваемых объектов для метрики в прост­ранстве разбиений.

6.1.2. Геометрический подход

Богатство геометрических структур в моделях для различных отношений предпочтения не исчерпывается одной метрической структурой. В качестве примера можно указать на работы, посвященные изучению топологических структур на мно­жествах предпочтений. Большой интерес представляет структура выпуклости, которую можно определить во множестве предпоч­тений. Наше основное внимание будет по­священо общему изучению этой структуры.

Интерес к выпуклым структурам продиктован, во-первых, про­стыми аналитическими соображениями. Поскольку неадекватные операции по обработке измерений в шкале порядка все-таки при­меняются, то исследовался вопрос о том, как результаты приме­нения этих операций соотносятся (геометрически) с исходными данными. Отметим, что неадекватная арифметическая обра­ботка качественных данных (определяемых в общем случае зна­чениями представляющих функций) с помощью произвольных математических средних, дает результат, принадлежащий вы­пуклой оболочке исходных данных. Во-вторых, выпуклые струк­туры, как показывают проводимые далее исследования, помогают раскрыть качественно новые и важные эмпирические связи в практических приложениях.

Для терминологического различения в нашем подходе вместо понятия метрической модели используется понятие пространства как множества всех возможных на фиксированной совокупности объектов отношений данного типа, наделенного структурой вы­пуклости.

Единственным общим понятием метрического и развиваемого в настоящей работе подхода является понятие «между», исполь­зуемое при определении структуры выпуклости. Главное «техни­ческое» отличие рассматриваемого здесь подхода к анализу инди­видуальных отношений предпочтения от аналитических методов, используемых в метрическом подходе, заключается в последова­тельном использовании исключительно геометрических понятий и структур. Естественно, что при построении алгоритмов, реализу­ющих развиваемый подход, и интерпретации результатов его практического использования мы оперируем только геометриче­скими (внутренними относительно рассматриваемых пространств) понятиями, что дает основание весь подход в целом назвать гео­метрическим подходом к анализу индивидуальных отношений предпочтения.

В заключение этого параграфа остановимся на одном обстоя­тельстве, связанном с общей методологией решения проблемы группового выбора. В канонической теории принятия решений под групповым выбором понимается задание такой функции, которая исходному множеству индивидуальных предпочтений ставит в со­ответствие одно единственно групповое предпочтение. Вопросы существования и свойств таких функций обсуждались в литерату­ре очень широко и они не входят в круг рассматриваемых здесь вопросов. Отметим лишь, что в большин­стве исследованных случаев попытки построения функции груп­пового выбора, как правило, приводили либо к ее неоднозначно­сти, либо к доказательству того, что при постулированных усло­виях такой функции не существует (теорема Эрроу о «невозмож­ности»). Так, в метрической модели в качестве группового выбора используют медиану или среднее, которые определяются неодно­значно. Кроме того, если пытаться рассматривать, например, мно­жество всех медиан для исходной совокупности точек, то описа­ние этого множества наталкивается на существенные аналитиче­ские трудности.

В этой связи общую проблему группового выбора предлагается рассматривать на двух уровнях общности.

На первом уровне целесообразно полностью абстрагироваться от конкретного физического содержания решаемой практической задачи (в частности — от конкретных шкал, в которых произве­дены измерения) и рассматривать индивидуальные суждения как наборы точек в некоторой модели или пространстве. Как указы­валось в 6.1.1, при этом подходе полностью снимаются вопросы, связанные с решением проблемы адекватности в данной шкале. При рассмотрении задачи группового выбора в такой модели или пространстве нет оснований требовать от функции группового вы­бора однозначности. Более естественным представляется подход, при котором исходному набору индивидуальных суждений ставит­ся в соответствие некоторое множество альтернатив, в определен­ном смысле допустимых для поиска среди них группового реше­ния. К такому же результату, как это будет показано ниже, при­водит также содержательное и формальное исследование понятий выпуклой оболочки множества исходных предпочтений и некоторого выпуклого подмножества этой оболочки — так называемого «ядра».

На втором уровне общности рассматривается задача построе­ния функции группового выбора, которая учитывает все специфи­ческие особенности задачи. Сюда входит, например, учет компе­тентности экспертов, учет всех параметров, по которым произво­дится оценивание, процедурные вопросы, предпочтения лица, вы­бирающего окончательное решение и т. п. Несмотря на то, что в каждой конкретной ситуации, по-видимому, удается найти груп­повое решение, задача построения на этом уровне общей функции группового выбора представляется бесперспективной. Заметим, что числовые данные, которые получаются в результате измере­ний в определенных шкалах, являются данными для решения за­дачи группового выбора на втором уровне.

Предлагаемый подход позволяет решать задачу агреги­рования на первом из указанных выше уровней. Применение раз­работанных методов позволяет опираясь на исходную совокуп­ность индивидуальных предпочтений, выделить некоторое множе­ство «допустимых» групповых решений. Задача нахождения един­ственного группового решения может рассматриваться как задача выбора из этого множества «допустимых» решений на втором уровне, т. е. с учетом всех специфических условий.

6.2. Бинарные отношения (четкий случай)

В предыдущем разделе при рассмотрении некоторых понятий теории измерений мы ввели понятие «тип шкалы», в которой из­меряются предпочтения. Со шкалой каждого типа связан опреде­ленный способ оценивания. Так, при измерении в шкале порядка объекты расставляются последовательно в соответствии с убыва­нием степени их предпочтительности или значений представляю­щих функций на объектах. С измерениями в интервальной шкале мы сталкиваемся в повседневной жизни, когда, например, изме­ряем длины, температуру, время. Способ измерений в шкале отно­шений хорошо иллюстрирует процедура взвешивания на обыч­ных весах.