Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 37 )

Рис. 3.

На нем выявляются особенности расположения значений функции принадлежности. Предлагаем самим проверить транзитивность в этом случае, используя (1). (Max-min)-опеpaтop умножения строки на столбец позволит проверить (3) и (4)

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение , которое определено для х R и у R (рис. 4):

(х, у)= е . (5)

Рис. 4.

Легко находим, что

е =е ,

поэтому

х-уМ = уМ - z

или

уМ = (х + z)/2.

Значение уМ отмечено на рис. 4. Подставив это значение уМ в правый член (5) ), получим

λ (х, z) = е = е

Мы видим, что

(х, z): е ≤ е

т. е.

(x, z): (x, z) ≤ λ (х, z).

Таким образом, отношение нетранзитивно. Заметим, что тем не менее это отношение является отношением сходства.

На рис. 5 представлено соответствующее отношение , но с заменой R+ на N.

Рис. 5.

Пример 3. Рассмотрим нечеткое отношение, которое определено для х R+ и у R+:

(x, у)= .

На рис. 6 показано, что min— max соответствует уМ=z, отсюда

λ(х, ум)=

Рис. 6.

Мы видим, что

(x, z) = λ (x, z).

Следовательно, отношение действительно транзитивно. Можно также проверить, что это отношение есть полный нечеткий порядок.

На рис. 7 представлено соответствующее отношение с N вместо R+.

Рис. 7.

Замечание о синтезе транзитивного нечеткого отношения. Если анализ нечеткого отношения в R или R+, как мы видели, не очень легкий, то, за исключением некоторых очень простых частных случаев, их синтез еще более затруднителен. Достаточно хороший метод синтеза состоит в том, чтобы выполнить синтез отношения в N, а потом перейти к R+ или R.

Теоремы декомпозиции для отношения подобия (16) и для отношения совершенного порядка (17) позволяют легко синтезировать соответствующие отношения. Можно предложить и соответствующий алгоритм.

Алгоритм для построения нечеткого транзитивного отношения в счетном множестве.

1. Пусть имеем последовательность (конечную или нет) чисел aі [0,1], строго упорядоченную по i:

1 > а1 > а2 >...> аr >....>0.

Шаг за шагом строим транзитивный обычный граф, добавляя дуги и следя, чтобы сохранялась транзитивность. На (i + 1)-м шаге алгоритма к построенному транзитивному графу, дугам которого уже присвоены значения а1, а2, ..., аі добавляются новые дуги, так что в результате получается новый транзитивный граф. Всем добавленным дугам на (i + 1)-м шаге присваиваются значения ai+1. Конечный нечеткий граф, полученный после остановки на шаге i, транзитивен; если процедура не останавливается за конечное число шагов, то получается бесконечный граф, причем тоже транзитивный.

Пример. Рассмотрим бесконечную последовательность

1 > 1/2 > 1/3 > 1/4 > ... ...> 1/r> ...>0.

Мы имеем намерение построить транзитивный и антирефлексивный нечеткий граф, обладающий совершенной антисимметрией. Построение выполняется в соответствии с порядком, указанным на рис. 8, где дуги добавляются произвольно, но с оговоркой, что транзитивность должна сохраняться на каждом шаге.

Рис. 8.

Как строится этот нечеткий граф, понятно из рис. 9.

Рис. 9.

Ту же процедуру можно использовать и для предпорядков, отношений подобия, порядков и т. п.

Из полученной матрицы видно, как получить соответствующее отношение для R+ и в конце концов для R. Это, очевидно, не всегда легко сделать.

3. Отдельные аспекты нечеткости отношений

3.1. Фундаментальное из­мерение нечеткости

В разделе рассматривается аксиоматическая структура для из­мерения функции принадлежности нечеткого множества (т. е. те­оремы представления и единственности), а также предлагается возможный вариант теста на единственность.

Предложена модель фундаментального измерения не­четкости. Однако сначала определим термины «объективное свой­ство» и «субъективное свойство». Первый термин относится к лю­бому свойству А, про которое недвусмысленно можно сказать, об­ладает ли им произвольный объект θ, принадлежащий выделен­ной области исследования Θ. В противоположность объективному свойству лингвистическое определение субъективного свойства А содержит неясности. Присущая этому понятию семантическая не­определенность допускает разнообразные интерпретации смысла этого свойства различными наблюдателями.

В дальнейшем определения «объективный» и «субъективный» будут относиться к любому частному свойству объектов из выде­ленной области исследования, определения «обычный» и «нечет­кий» — к подмножеству элементов этой области, порожденно­му некоторым свойством, определения «четкий» и «нечеткий» — к форме функции множества (четкий — для функции со значени­ями в бинарной решетке и нечеткий — для функции со значения­ми в двусторонне ограниченном интервале действительной пря­мой). Кроме того, из контекста будет ясно, использовано ли сло­во «нечеткий» в отдельном утверждении применительно ко мно­жеству или к форме функции множества.

3.1.1. Аксиоматизация понятия характеристической функции

Из того факта, что индивидуумы могут по-разному восприни­мать интенсивность свойства , которым обладает объект θ в Θ, делаем вывод, что значение функции принадлежности объекта θ к подмножеству из Θ, индуцированному признаком (т. е. к мно - жеству, представляющему свойство ) — которое для простоты будем называть множеством , не может считаться объективной

характеристикой. Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой назначения числовых оценок субъективным ощущениям. Задача построения числовых представлений относится к области матема­тической психологии, в которой используется техника теории из­мерения и шкалирования. Прежде чем ввести технику, необходи­мую для представления функции принадлежности нечеткого мно­жества, построим представление характеристической функции обычного множества, соответствующего объективному свойству А.

Определение. Пусть задана область θ. Определим слабый по­рядок А на Θ условием

где читается как «θ1 обладает свойством А по крайней мере в той же степени, что и θ2» или «утверждение, что θ1 обла­дает свойством А в той же мере, что и θ2, по крайней мере истин­но», или «относительно свойства А объект θ1 по крайней мере та­кой же большой, как и θ2».

Утверждение, что θ1Аθ2, допускает следующую интерпрета­цию: объект θ1 имеет по крайней мере ту же степень принадлеж­ности множеству (представляющему) А, что и θ2.

Таким образом, θ1~a θ2 всякий раз, когда (т. е. всякий раз, когда или

всякий раз, когда и не θ1~aθ2 (т. е. всякий раз, когда