Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 54 )

К таким «разумным», «естественным» принципам относится принцип единогласия Парето для согласования индивидуальных предпочтений. Пожалуй, ни один другой принцип согласования не обсуждался в научной литературе так глубоко и детально, как этот, и в то же самое время он, пожалуй, единственный, для ко­торого не существовало техники получения групповых решений. Это обстоятельство, ввиду практической важности проблемы построения групповых решений предопределяет интерес к поиску математического аппарата для получения групповых решений, удовлетворяющих принципу единогласия Парето. Использование принципа Парето позволяет сделать акцент в сторону максималь­ного учета индивидуальных предпочтений экспертов и разработать такую общую процедуру, чтобы усредненное мнение более или менее удовлетворяло все множество экспертов.

Работа лежит в русле того направления в модели­ровании группового выбора, которое трактует индивидуальные мнения (предпочтения) как точки в пространстве соответ­ствующих бинарных отношений. Распространенное понимание принципа Парето как принципа отбраковки тех и только тех аль­тернатив, которые «единогласно подчинены» другим альтернати­вам, сводится к построению «пересечения» индивидуальных би­нарных отношений. В работе используется более широкое истолко­вание принципа Парето как лишь необходимого (не обязательно достаточного) условия для группового решения, но зато отнесен­ного не только к «отбраковке», но и к «принятию» альтернатив. Это истолкование сводится к выделению в качестве группового предпочтения некоторого «промежуточного» бинарного отношения «между» заданными индивидуальными отношениями. Изучение формализации понятий «промежуточности» и производных от не­го понятий «выпуклости» и т. п. в пространстве отношений позво­лило развить «геометрический» взгляд на изучаемые объекты.

При разработке этого «геометрического» подхода исходил из более широкой задачи: провести общее исследование геомет­рии пространств отношений индивидуального предпочтения, наи­более распространенных в практике экспертного метода. Надо отметить, что для решения задачи группового выбора в простран­ствах отношений традиционно применяется метрическая структу­ра, которая используется в общеизвестных «механических» пра­вилах нахождения группового решения — в медианах и средних. При этом в стороне остаются такие геометрические структуры, как «между», выпуклости, частичного порядка и др. Исследова­ние именно таких структур является целью настоящей работы .

Исследования геометрических структур проводятся для про­странств двух типов бинарных отношений: обычных (четких) и нечетких. Общая схема исследований следующая: рассматривают­ся два варианта понятия «между» для отношений и соответствен­но два варианта понятия «выпуклости» множества отношений, исследуется взаимосвязь между ними и предлагается алгоритм по­строения выпуклой оболочки множества индивидуальных отноше­ний и его «ядра», содержащего искомые групповые решения, т. е. решения, удовлетворяющие принципу единогласия Парето.

Исследование геометрических структур проводится на двух уровнях общности: сначала проводится общее рассмотрение про - странств бинарных отношений (четких или нечетких) без конкре­тизации типа отношений, а затем результаты переносятся на кон­кретные пространства. Так, для пространств четких бинарных отношений вводится понятие полных пространств, рассмотрение которых допускает изучение конкретных пространств с общих пози­ций и упрощает доказательства; доказывается теорема о сущест­вовании линейного сегмента в произвольном пространстве бинар­ных отношений; для полных пространств доказывается эквива­лентность двух определений выпуклости, одно из которых есть полный аналог соответствующего понятия в евклидовой геомет­рии, а другое —- экспликация принципа Парето и т. д. Вместе с тем результаты общего изучения нельзя перенести механически в некоторые конкретные пространства и здесь требуется проведе­ние дальнейших исследований. Так, например, остался невыяс­ненным вопрос о том, является ли пространство линейных квази­порядков полным пространством; понятие «ядра» исходной сово­купности индивидуальных предпочтений может рассматриваться в различных модифицированных вариантах, отвечающих специфи­ке решаемой задачи, и требует поиска структурных характе­ристик.

В настоящей работе результаты общего изучения геометрии пространств предпочтений исследуются в приложении к прост­ранствам частичных порядков и квазитранзитивных отношений, и решение задачи группового выбора доводится в них до машин­ных алгоритмов.

Методологическая особенность развиваемого в работе подхода состоит в том, что поиску единственного группового решения сна­чала предшествует построение множества «допустимых» группо­вых решений, удовлетворяющих принципу Парето. Выбор един­ственного группового решения производится уже из построенного множества допустимых групповых решений.

Интерес к пространствам нечетких отношений связан с тем, что язык теории нечетких отношений позволяет получать оценки той степени (меры, вероятности), с которой исследуемые объекты находятся в данном отношении, и поэтому во многих практиче­ских задачах оказывается наиболее адекватным условиям экс­пертного оценивания и целям экспертизы.

В работе последовательно осуществляется перенос ряда результатов, полученных для четких отношений, на случай нечетких бинарных отношений, что влечет наряду с ес­тественным обобщением и необходимость преодоления определен­ных трудностей. Так, кроме общих исследований пространств не­четких отношений по вышеописанной схеме, в пространстве не­четких частичных порядков доказывается ряд специальных свойств, вводится мера близости, на основе понятия ядра строит­ся множество допустимых групповых решений, предлагается способ построения единственного группового решения в этом прост­ранстве с использованием операции арифметического осреднения.

В предлагаемой работе рассматриваются и практические аспек­ты применения разработанного подхода к задачам анализа экс­пертных суждений, предлагается специальная процедура, ориен­тированная на получение искомых решений, описываются машин­ные алгоритмы их построения. Вводимые в работе понятия и получаемые результаты подробно иллюстрируются простыми примерами.

Основные идеи геометрического подхода и место их изложения в разделе представлены в следующей таблице:

В заключительном подразделе 6.12 предлагается метод получения нечетких отношений индивидуального предпочтения и один под­ход к проблеме выбора на основе получающихся нечетких отноше­ний предпочтения.

6.1. Геометрический подход к проблеме группового выбора

Проблема агрегирования индивидуальных суждений о порядке предпочтений на конечном множестве исследуемых объектов в со­держательном плане состоит в нахождении такого суждения, ко­торое было бы «средним» относительно исходных или другими словами, находилось бы «в середине между ними». Для поиска и оценки суждений, претендентов на роль такого среднего, часто используется метрический подход. При этом подходе исходные данные задачи агрегирования, например, «погружаются» в подхо­дящую абстрактную модель, скажем, взятую из физики модель пространственного расположения единичных масс, и задачу на­хождения среднего трактуют как задачу нахождения центра тяжести. Подобный прием был использован, например, в работе Кемени и Снелла, в которой было введено понятие расстояния между суждениями, а в качестве среднего выбиралось суждение, сумма расстояний до которого от исходных суждений минимальна. Именно с этим метрическим подходом будет производиться срав­нение подхода, развиваемого в данном разделе.

Отметим, что для решения проблемы агрегирования индиви­дуальных предпочтений используются и некоторые другие подхо­ды, в работе не рассматриваемые. Среди них можно упомянуть аксиоматический подход и статистические методы.

В этом разделе мы попытаемся выявить причины обращения к метрическим моделям и пространствам предпочтений при реше­нии проблемы группового выбора. При этом будет показано, что к понятию модели приводят два пути, использующие различные способы представления индивидуальных предпочтений. Кроме то­го, такое рассмотрение позволит понять некоторые аспекты мет­рического подхода к проблеме группового выбора, присущие также и развиваемому подходу.

6.1.1. Представление предпочтений

Этапу обработки индивидуальных предпочтений неизбежно предшествует этап измерений самих предпочтений. В современной науке под измерением понимают строгую и для данного вида из­мерений почти всегда воспроизводимую с «близким» результатом процедуру, при которой измеряемое свойство объекта (признак, фактор) сравнивается с некоторым эталонным его проявлением и в результате получается число, характеризующее степень выра­женности исследуемого свойства. Такая трактовка измерения за­имствована из классической физики и относится к случаю, когда исследуемые свойства обладают количественной природой или мы умеем их наделять таковой, как, например, в случае измерения количества тепла.

В случае качественных свойств корректно говорить об изме­рении, если в приведенной выше трактовке понятия «измерение» переставить некоторые акценты. Поскольку структура качествен­ных свойств, как правило, «неосязаема», то «легализация» свойств начинается — явно или неявно — с построения некоторого соответ­ствия между совокупностью наших содержательных представле­ний о природе свойств и описанием этой совокупности в точных терминах.

В теории измерений качественных свойств такое «опи­сание в точных терминах» структуры исследуемых свойств произ­водится с использованием понятия системы с отношениями. При этом, говоря, что свойство имеет определенную структуру, подра­зумевают любую структуру, детерминированную эмпирическими связями между эмпирическими объектами. Этот общий подход распространяется также на случай «эмпирических отношений», которые являются субъективными утверждениями об отношениях между эмпирическими объектами. Когда имеют дело с качествен­ными свойствами, объектом измерения как раз и являются эмпи­рические отношения, а результат выражается через посредство субъективных утверждений об измеряемых отношениях. Под са­мим измерением понимают в этом случае установление соответ­ствия между эмпирической и некоторой числовой системами с от­ношениями, а под шкалой — совокупность из обеих систем с отно­шениями и соответствия между ними.