Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 14 )

х~ у

или в виде

y = f(х).

Понятие условного нечеткого подмножества играет в точности ту же роль, но вместо того, чтобы рассматривать элементы х Х, у Y и отношение f, являющееся функцией, введем следующее определение.

Пусть Х и Y; рассмотрим нечеткое отношение между Х и Y. Теперь определим: если =, тo в соответствии с отношения имеем = ; это можно записать в виде

~ .

Если (х, у) — функция принадлежности нечеткого отношения , (х)- отношение и (х) — отношение , тo

(у)=МIN[ (х), (х, у)]= [ (х) (х, у)] (36)

Это выражение устанавливает другое представление условных нечетких подмножеств. Дальше мы убедимся в важности этого понятия.

Рассмотрим пример использования этого представления.

Пример 1

X ={ х1, х2, х3),

= {( x1|0,3), (x2|0,7), (x3|1)}, (37)

Y = {y1. y2, y3, y4, y5}

(38)

Перепишем (37) в виде

(39)

Теперь проведем операцию взятия MIN для всех элементов строки (39) и столбца у1 (38); это даст

После выполнения операции МАХ на элементах полученного столбца имеем

0,3 0,7 0,2= 0,7.

Таким образом,

(у1)=0,7.

Выполнив то же самое между элементами (39) и другими столбцами (38), получим

(у2)= 0,3, (у3) = 0,7, (у4) = 0,4, (у5) = 1.

И окончательно

= {(y1|0,7), (у2|0,3), (у3|0,7), (у4|0,4), (y5|1)},

или, что то же самое,

Пример 2. Очевидно, что формула (36) или (35) также применяется в случае, когда подмножества — обычные, а отношение R — булево (т. е. формальное). В этом случае формулы принимают вид

(у) = (x) ∙ (x, у), (40)

где - булева сумма.

Пусть

X = {x1, x2, x3},

А = {( x1|1), (x2|0), (х3|1)},

Y = { y1, y2, y3, y4, y5},

(41)

Тогда, выполняя булевы операции, которые указаны в (40), для подмножества

и отношения (41), находим

Пример 3. Рассмотрим теперь случай, когда универсальное множество непрерывно.

Пусть

Х= R+,

= {x| (x) = e }, k1 R+,

= {(х, y)| (x, у) = е }, k2 R+

при k2 > k1.

Рис. 32.

Теперь определим минимум по х для (x) (рис. 32, а) и (x,у) (рис. 32, б). Эти две кривые пересекаются в двух точках:

условие 0 ≤х≤у, e = е

дает точку х= у,

условие у≤х, e = е

дает точку х= у.

На рис. 32, в выделена кривая

(x,у) = (x) (x,у) ,

максимум которой достигается при

х= у

Таким образом,

(у) =e = е

Общее замечание. Очевидно, можно задать следующий вопрос. Если при = в соответствии с отношением имеем =, то можно ли отсюда заключить, что из = в соответствии с обратным нечетким отношением получим =, где — нечеткое отношение, обратное к ? (Под обратным здесь понимается отношение, которое получается из данного, если в таблице отношения заменить столбцы строками. Это отношение лучше было бы назвать транспонированным, поскольку в следующей фразе под обратным к подразумевается такое отношение , которое А : А=А, когда - тождественное отношение на X). За исключением частных случаев, обратный переход от посредством к невозможен: и в этом смысле отношение не будет отношением, обратным к отношению .