Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 88 )

выполняется для всех х, у и z, отличных друг от друга. Рассмот­рим все возможные, случаи.

1) Среди парнет пары (a, b). Тогда (*)

следует из транзитивности Q.

Имеем

Имеем

Предположим, что

или

для некоторого у.

Тогдаи Пусть у = аk. Тогда

Имеем так как Так как Так как В силу транзитивности имеем

Полученное противоречие показывает, что (*) в случае (4) снова выполнено, что и завершает доказательство леммы 13.2.

Замечание. Отметим, что построенная при доказательстве леммы 13.2 точка Р' обладает следующим важным свойством: мощность множества пар (х, у), на котором на единицу меньше мощности множества пар (х, у), на котором

Из последнего замечания следует, что за конечное число ша­гов, пользуясь конструкцией из доказательства леммы 13.2, мож­но построить последовательность точек

Точки образуют, очевидно, основу линейного сегмента, который в силу рассуждений, предваряющих лем­му 12.4, определяется ими однозначно.

Итак, нами доказана следующая

Теорема 13.1. Пространство является полным про-

странством.

Тем самым длясправедливы все результаты для полных пространств, полученные в предыдущем параграфе. Именно,

и

где X — произвольное множество в пространстве частичных по­рядков

13.2. Метрика в пространстве

Мы начнем этот параграф с введения меры близости между нечеткими частичными порядками. Под мерой близости мы будем понимать функцию на парах элементов из удовлетворяющую некоторым естественным условиям. Например, естественно потребовать, чтобы «близким» нечетким частичным порядкам со­ответствовали «небольшие» значения этой меры и т. п.

Определение 13.1. Мерой близости между нечеткими частич­ными порядками будем называть функциюзаданную на

множестве всех пар (Р, Q) элементов множества удовлетво-

ряющую следующим условиям:

тогда и только тогда, когда (R лежит между Р и Q);

для соседних нечетких ча­стичных порядков Р и Q.

Теорема 13.2. Существует единственная функция d(P, Q), удовлетворяющая условиям 1—3. Значения функции d(P, Q) мо­гут быть вычислены по формуле

(13.1)

Доказательство. Покажем сначала, что функция d(P, Q) определяется условиями 1—3 однозначно. Пусть P1 и Р2 — нечет­кие частичные порядки. В силу леммы 13.1 есть не­четкий частичный порядок, причем Отсюда по усло­вию 2 Так как то достаточно показать, что d(P, Q) однозначно определено для Поскольку в этом случае очевидно, что Р [0, Q], то по условиям 2 и 1. (Здесь 0 обозна­чает тривиальный частичный порядок с функцией принадлеж­ности тождественно равной нулю.) Покажем, что одно­значно определено для любого Р. Если Р = 0, то из следует откуда Если то согласно лемме 13.2 существует нечеткий частичный порядок P1 такой, чтои P1 есть нечеткий частичный порядок, со­седний к Р. При этом носитель P1 строго содержится в Р. Далее, согласно лемме 13.2 существует нечеткий частичный порядок и соседний к P1 и т. д. Применяя последовательно лем­му 13.2, мы получим последовательность вло­женных соседних нечетких частичных порядков, причем носите­ли их строго убывают. В силу конечности А эта последователь­ность обрывается: Применяя последо­вательно условие 2, получаем

Так как нечеткие частичные порядкисоседние, то все слагаемые в этой сумме однозначно определены условием теоремы, а следовательно, установлена однозначность функции

Для доказательства оставшейся части теоремы достаточно проверить, что функция (13.1) удовлетворяет всем условиям 1—3. Выполнение условий 1 и 3 очевидно. Пусть теперь В соответствии с условием 2 рассмотрим выражение

Поскольку по определению условияимеем

то рассматриваемое выражение принимает вид

Следовательно, условие 2 тоже выполняется. Доказательство за­кончено.

Из доказанной теоремы 13.2 видно, что мера близости, опре­деленная естественными условиями 1—3, существует и при этом определяется ими единственным образом. Оказывается, что так определенная мера близости к тому же обладает следующим важ­ным свойством: ее можно рассматривать как метрику на про­странстве

Теорема 13.3. Функция удовлетворяет следующим

условиям:

тогда и только тогда, когда Р = Q.

для любых Р, Q, R.