Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 22 )

Пример 1. На рис. 63 и 64 представлены нечеткие отношения порядка.

Рис. 63. Рис. 64.

Можно проверить, что они действительно рефлексивны, транзитивны и антисимметричны.

Пример 2. Отношение, которое определено в (59) и представленное на рис. 46, есть нечеткое отношение порядка.

Пример 3. Отношение х у, где х, y N (рис. 65), есть нечеткое отношение порядка.

Рис. 65.

Антисимметричные отношения, которые называют порядками и которые обозначаются буквой Р, в зависимости от выполнения условия рефлексивности или антирефлексивности разделяют на нестрогие и строгие порядки. Мы здесь для определенности будем рассматривать лишь строгие, т. е. антирефлексивные, порядки. Свойства нестрогих (рефлексивных) порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.

Теорема 1. Каждое нечеткое отношение строгого порядка индуцирует порядок (в смысле теории множеств) на своем универсуме посредством отношения

(x, y)≥(y, x),

Этот порядок будем обозначать ух.

Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Как правило, эти требования выражают разумность, рациональность, согласованность отношения упорядочения, заданного в множестве X. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка , и наиболее жесткие требования — это условие линейной транзитивности и условие квазисерийности.

Если для отношений сходства условие транзитивности обычно записывается в виде SSS, и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношений порядка условие транзитивности нечетких отношений удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков:

(х, y)>0, (y, z)>0 (x, z)≥ (x, у) (у, z), (67)

где — некоторая операция в L. Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задачи операции * в L, так и способом записи условия транзитивности, подобного условию (67). Ниже перечисляются некоторые условия транзитивности, которые определяют эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая ассиметричность отношения строгого порядка , будем писать (х, у) ≥ 0, если (у, х) = 0.

Ацикличность:

x0, х2, ..., хп Х: (x0, x1)>0, (x1, x2)>0, ...

..., (хп-1, хп) > 0 (х0, хп) ≥ 0.

Слабая транзитивность:

(х, у)>0, (у, z)>0 (x, z)>0. (68)

Отрицательная транзитивность:

(x, y) ≥ 0, (y, z) ≥0 (x, z) ≥ 0.

(• )-транзитивность (L = [0, 1]):

(х, у)>0, (y, z)>0 (x, z) ≥ (x, у) • (у, z). (69)

( )- транзитивность:

(х, у) > 0, (у, z)> 0 (x, z) ≥ (х, у) (у, z). (70)

(1/2, +)-транзитивность (L = [0,M]):

(х, у)> 0, (у, z)> 0 (x, z) ≥ ( (x, y) + (y, z))/2.

Сильная транзитивность;

(х, у) ≥ 0, (у, z) ≥ 0 (x, z) ≥ (x, y) (y, z). (71)

Сверхсильная транзитивность: условие (71) вместе с условием:

(х, у)> 0, (у, z)> 0 (x, z)> (x, y) (y, z).

Метрическая транзитивность (L = [0, М]):

(х, у)≥0,(у, z)≥0(x, y)+(y, z)≥(x, z)≥(x, y)(y, z).( 72)

Квазисерийность:

(x, y) ≥ 0, (y, z) ≥0 (x, z)= (x, y) (y, z). (73)