Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 16 )

Полнота сильная:

=U, (x, y) (y, x)=I х, у X.

Полнота слабая:

(x, y) (y, x)>0 х, у X.

Последние условия называют также линейностью и связностью.

Рефлексивность. Это свойство определяется условием

х, у Р: (х, у)=1.

Пример 5. (См. рис. 35).

Рис. 35.

Пример 6. Отношение «у близкое к х» в примере на симметричность является рефлексивным отношением.

Возможно и такое определение рефлексивности:

, (x, х) = І х X. (*)

Слабая рефлексивность:

(x, у) < (x, х) х, у X.

Условие

(x, у) = І х, у X , х≠ у.

вместе с условием (*) будем называть сильной рефлексивностью.

Антирефлексивность:

= , (x, х) = 0 х X. (**)

Слабая антирефлексивность:

(x, х) ≤ (x, у) х, у X.

Сильная антирефлексивность — это условие (**) совместно с условием 0< (x, у) х, у X , х≠ у.

Транзитивность. Пусть х, у, z P, тогда

(x, у), (у, z), (х, z) P×P:

(х, z) ≥ [MIN ( (х, y), (y, z))]. (43)

Выписанное соотношение определяет свойство транзитивности нечеткого отношения. Это соотношение можно записать в виде

(х, z) ≥ [ (х, y), (y, z)]. (44)

Напомним, что символ означает «максимальное из значений...», а символ — «минимальное из значений...».

Возможно и такое определение транзитивности:

°, (x, z) ≥ (x, y) (y, z) x, y,z X.

Возможны и другие определения условия транзитивности нечеткого отношения. Другой подход к определению условия транзитивности нечетких порядков будет рассмотрен ниже.

Прежде чем привести некоторые примеры, следует удостовериться в том, что определением (44) на самом деле обобщается понятие транзитивности формальных отношений.

Операция (min) соответствует «и» в пропозиционной логике, а операция (max по всем у) соответствует результату, который можно получить посредством импликации .

Рассмотрим несколько примеров применения формулы (43) (или, что то же самое, (44)).

Пример 7. Следующие нечеткие отношения транзитивны:

Y много больше X,

А чище, чем В,

X — дальний родственник Y,

в противоположность отношению X похож на Y, которое нетранзитивно. Ведь может случиться так, что X похож на Y и Y похож на Z, но X не обязательно похож на Z; все, однако, зависит от характера функции (х, у), которая оценивает сходство. Это приведет нас позднее к тому, чтобы с большей точностью определить, что в настоящей теории подразусевается под «сходством».

Пример 8. Рассмотрим отношение ху, где х, у N, задаваемое функцией принадлежности

(х, у) = е (45)

при значениях k>1 и достаточно больших для того, чтобы эта функция принадлежности выражала отношение «х и у очень близки друг к другу». Покажем, что нечеткое отношение, определяемое (45), нетранзитивно.

На рис. 36 выписанная матрица отношения (45).

Рис. 36.

На рис. 37 выполненны вычисления правой части условия транзитивности (44).

Рис. 37.

Можно убедиться, что (44) выполняется не для всех пар. Следовательно, отношение, определенное (45), нетранзитивно.

Позднее мы вернемся к детальному рассмотрению случая, когда Р — бесконечное множество. Транзитивность в этом случае заслуживает особого внимания.

Теперь рассмотрим случай, когда отношение транзитивно, а множество Р счетно.

Пример 9. Рассмотрим отношение ху, где х, у М, которое определяется функцией принадлежности