Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 78 )

Определение 11.2. Пусть Ф и Ψ— два нечетких соответствия с областямисоответственно. Композицией Ф и Ψ называется нечеткое соответствие с функцией принадлежности

и областью определения

В силу ассоциативности операции операция композиции также является ассоциативной, т. е.

Далее, из следует

Наконец, имеем

Заметим, что для пересечений, вообще говоря, имеет место лишь включение

Пусть Ф — нечеткое соответствие с областью определения Обратным нечетким соответствием Ф-1 называется не­четкое соответствие с функцией принадлежности

и областью определения Легко проверить, что выполняются следующие свойства об­ратного нечеткого соответствия:

Если А — нечеткое множество с областью X1, то образом это­го нечеткого множества относительно нечеткого соответствия Ф называется нечеткое множество с областью определения

Х2 и функцией принадлежности

Пусть теперь В —нечеткое множество с областью Х2. Прооб­разом нечеткого множества В относительно нечеткого соответст­вия Ф называется нечеткое множествос областью опреде­ления X1 и функцией принадлежности

Ясно, что прообраз нечеткого множества есть его образ при об­ратном соответствии.

Если элементы множествзанумерованы, то нечеткие

множества и соответствия естественным образом представляются матрицами с элементами из [0, 1]. В этом случае операция ком­позиции представляет собой обычную (max, min) композицию матриц по правилу «строка на столбец». Две специализации понятия нечеткого соответствия — бинар­ные нечеткие отношения и нечеткие отображения — представля­ют собой предмет изучения в этом разделе. Ниже мы изложим ос­новные определения и некоторые свойства из области этих поня­тий. Начнем с бинарных отношений.

Пусть А — конечное множество из п элементов. Элементы этого множества будем обозначать х, у, z, ...

Определение 11.3. Бинарным нечетким отношением на множе­стве А называется нечеткое соответствие с областью определения

Другими словами, нечетким отношением R называется нечет­кое множество с носителемТем самым нечеткое отноше­ние задается функцией принадлежности принимающей значение в интервале [0, 1]. В дальнейшем мы рассматриваем только нормальные отношения, т. е. такие отношения, функция принадлежности которых μR хотя бы на одной паре принимает значение 1.

Нечеткое отношение, кроме описанного способа, может зада­ваться в виде матрицы. Пусть элементы множества А занумеро­ваны в виде последовательности Элементы матрицы задающей нечеткое отношение R, определяются равенством

В теоретических рассмотрениях мы будем использовать первый способ представления нечеткого отношения — через функцию принадлежности для решения практических задач удобнее использовать матричную форму. В дальнейшем матрицу от­ношений будем обозначать просто (R).

11.3. Действия над нечеткими бинарными отношениями. Свойства нечетких бинарных отношений

Напомним, что в теории нечетких множеств большую роль иг­рают операции которые являются операциями взятия максимума и минимума для действительных чисел. С помощью этих операций мы введем действия над нечеткими бинарными от­ношениями, используемыми в данной работе.

1. Пересечением нечетких бинарных отношений Р и Q назы­вается нечеткое бинарное отношениеопределяемое функ­цией принадлежности

Пример 11.1. Пусть матрицы отношений Р и Q имеют вид

Тогда матрица отношенияимеет вид

2. Объединением нечетких отношений Р и Q называется не­четкое бинарное отношениеопределяемое функцией при­надлежности

Пример 11.2. Для отношений Р и Q из примера 11.1 имеем

3. Дополнением нечеткого отношения R называется отноше­ниес функцией принадлежности

Пример 11.3. Для отношения Р из примера 11.1 имеем

4. Обратным отношением к отношению Р называется отноше­ние R -1 с функцией принадлежности

Очевидно, что матрица R -1 является транспонированной к ма­трице R. Пример 11.4. Для отношения Р из примера 11.1 имеем

5. Композицией двух нечетких отношений Р и Q называется отношение с функцией принадлежности

Введенное здесь определение композиции соответствует максиминной композиции, введенной в работе Л. Заде. Отметим, что композиция двух нечетких отношений может определяться также с использованием других бинарных операций вместо опе­рации

Квадратом отношений Р называется композиция отношения Р с самим собой:

Аналогично определяется п-я степень нечеткого бинарного отно­шения Р:

Пример 11.5. Для отношений Р и Q из примера 11.1 имеем

Матрица композиции отношений Р и Q есть максиминное произведение матриц этих отношений. Заметим, что Р2 совпало с Р.

6. Отношение включения выполняется тогда и только тогда, когда для каждой пары (х, у) выполняется условие

Так же как и четкие бинарные отношения, нечеткие отноше­ния различаются по своим свойствам. Ниже мы перечислим наи­более важные из них.

1. Рефлексивность нечеткого бинарного отношения R означа­ет, что В матрице рефлексивного нечетко­го отношения на главной диагонали стоят единицы.

2. Антирефлексивность нечетного отношения R означает, что