Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 18 )

Свойство (43) или (44), определяющее транзитивность, можно также представить следующим обращом:

.

Предположим, что

,

и

, k= 1,2,3,.....,

Тогда очевидно, что , k =1,2,3,...

Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения будем называть отношение

=... (50)

Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть транзитивное бинарное отношение.

Доказательство. Согласно (50) можно записать

==... (51)

Тогда, сравнивая (50) и (51), можно записать , что и доказывает транзитивность .

Подводя итоги, получаем следующие свойства:

( ) ( = ) ( транзитивно),

( = ) ( = ) ( транзитивно).

Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для любого отношения.

Как следствие из теоремы 1 получаем, что транзитивно тогда и только тогда, когда = .

В случае, когда рефлексивно, имеем также:

... = = =...

откуда следует = .

Теорема 2. Пусть — некоторое нечеткое бинарное отношение. Если для некоторых k имеем

=, (52)

тo

= ... . (53)

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Доказательство. Имеем

= ... ...=

= ......= ... . (54)

Ниже мы докажем, что если Р×Р, где Р — конечное универсальное множество и card (Р) = п, то

= ... (55)

и существует k, определяемое (53), такое, что k≤ r.

Весьма полезным фактом является то, что α-уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения совпадает с транзитивным замыканием соответствующего α-уровня:

( )α = ( ) для всех αL, α0. (56)