Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 61 )

Отношение принадлежит пространствуи имеет матрицу

— пространство всех совершенных строгих порядков.

Пример 3.7. Пусть есть, отношение из примера 3.3. Тогда

Отношение принадлежит пространству и имеет матрицу

Связь введенных пространств изображена на диаграмме 3.3, где стрелки указывают вложение пространств.

Диаграмма 3.3

Пример 3.8. Для R из примера 3.4 отношение с матрицей

служит примером отношения из пространства которое не принадлежит ни одному из вложенных в него пространств из диаграммы 3.3.

Наконец, в соответствии с диаграммой 3.1, определим прост­ранства отношений безразличия.

— пространство всех отношений безразличия, т. е. симмет­ричных и рефлексивных отношений. Такие отношения называ­ются отношениями толерантности. Поэтому мы в дальней­шем будем называть это пространство пространством толерантностей.

— пространство всех транзитивно ориентируемых от­ношений толерантности, т. е. таких отношений толерантности Т, что дополнение к Т представляется в виде объединения взаимно обратных транзитивных отношений.

Пример 3.9. Для отношения R из примера 3.1 отношение

имеет матрицу-

Дополнение к этому отношению имеет матрицу

и представляется в виде объединения взаимнообратных отношений Р и Р-1 с матрицами

соответственно.

— пространство всех отношений эквивалентности.

Пример 3.10. Для отношения R из примера 3.2 отношение І имеет матрицу

Очевидно, что І есть эквивалентность.

— пространство всех отношений равенства. Очевидно, что оно состоит из одной точки, матрица отношений которой есть диагональная матрица.

Так же как и в предыдущих случаях укажем связь введен­ных пространств на одной диаграмме

Диаграмма 3.4

Пример 3.11. Подобно тому, как это было сделано в примерах 3.4 и 3.8, приведем пример отношения из пространстване принадлежащего ни одному из вложенных в него пространств на диаграмме 3.4. Если мы возьмем для этой цели отношение R из примера 3.4, то получим отноше­ние І с матрицей

Легко видеть, что отношение с такой матрицей является эквивалентностью и, следовательно, принадлежит пространству Таким образом, полученное отношение, против ожиданий, не является примером отношения, принадле­жащего пространству и не принадлежащего вложенным в него простран­ствам.

В данном случае этот факт объясняется тем, что отображение α (диа­грамма 3.1) является сюръективным, а не биективным отображением. Дру­гими словами, прообраз точки из пространствав пространствесостоит, вообще говоря, из нескольких точек. В нашем примере в этот прообраз, на­ряду с отношением R из примера 3.4 входит, скажем, отношение R7 с мат­рицей

А это отношение принадлежит пространству что и объясняет принадлежность отношения I пространству

Искомый пример можно привести лишь в случае, когда мощность п носителя А не менее 5. В случае п = 5 таким примером может служить отношение І с матрицей

Подобные отношения, входящие среди прочих в пространство назы­ваются транзитивно неориентируемыми. В терминах теории графов транзитивно ориентируемые и неориентируемые отношения изучались Гилмором и Гофманом.

Диаграммы 3.1—3.4 можно объединить в одну трехмерную диаграмму 3.5. Вертикальные отображения на этой диаграмме являются вложениями пространств, а типы горизонтальных отобра­жений определены в 6.3.2.

Диаграмма 3. 5

Покажем теперь, что диаграмма 3.5 коммутативна. Это озна­чает, что любые два пути, идущие в направлении стрелок из од­ного пространства в другое, определят одно и то же отображение этих пространств.

Лемма 3.1. Любой квадрат отображений на диаграмме 3.5 коммутативен.

Доказательство. Утверждение леммы непосредственно следует из того, что вертикальные стрелки суть вложения, опре­деляемые одинаковыми формулами.

Лемма 3.2. Любой треугольник отображения на диаграмме 3.5 коммутативен.

Доказательство непосредственно следует из утверждения 3.2.

Теорема 3.1. Диаграмма 3.5 коммутативна.

Доказательство. Нам надо показать, что любые два пу­ти, идущие из одного пространства в другое, задают одно и то же отображение. Для примера рассмотрим следующие два пути:

Последний путь в силу леммы 3.2 задает то же отображение, что и путь

Последний путь в силу леммы 3.1 задает то же отображение, что и путь

В силу той же леммы 3.1 последний путь задает то же отобра­жение, что и первый путь

Сводная схема из двенадцати пространств (диаграмма 3.5) содержит пространства многих отношений, используемых на практике и исследуемых в теории полезности и группового выбо­ра. Четыре пространства из этой системы изучались в рамках метрического подхода. Так на аксиоматической основе в пространстве была введена и использована концеп­ция расстояния между ранжированиями для построения ранжи­рования, «согласованного» с данными.] Аналогичный под­ход был развит для расстояния в пространстве эквивалентностей , и для пространства квазисерий (изоморфного пространству В пространстве строгих частичных порядковрасстояние аксиоматически было введено в ряде работ. Пробле­ма группового выбора в этих пространствах всеми авторами ставилась так, как она была сформулирована в разделе 3 для пер­вого уровня общности.

Таким образом, в метрическом подходе изученными оказа­лись все пространства второго (снизу) «этажа» диаграммы 3.5 и одно пространство — с третьего. Интересным фактором пред­ставляется появление в этой схеме двух не изучавшихся ранее пространствтретьего «этажа». Точки пространства

квазитранзитивных отношений в общем случае представляют собой отношения менее «жесткие» в части требований тран­зитивности, чем отношения изи имеют содержательный, эмпирический эквивалент в теории экономического поведения. Более подробно пространство будет изучаться в главе разделе 7. Пространство содержит такие отношения толерантности