Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 17 )

(х, у) = 0 х=у,

(х, у) = е х≥у.

Матрица этого отношения представлена на рис. 38. На рис. 39 приведенные результаты вычислений правой части (44).

Рис. 38.

Рис. 39.

Сравнивая эти два рисунка, можно убедиться, что (44) удовлетворяется для всех пар. Это отношение транзитивно.

Можно также проверить, что этот вывод остается в силе, если х, у R+. Это отношение можно интерпретировать как «величина х меньше у и не зависит от у».

Замечание о конечных отношениях. Операция, определяемая посредством (34) или (35), проводится над строками и столбцами так же, как это делается в матричных вычислениях по правилу «строка на столбец». На рис. 40 показано, как производить вычисления, чтобы получить

[(xi1 x1j), (xi2 x2j),…,(xin-1xn-1j)(xinxnj)]...

Рис. 40.

Композицию нечетких бинарных отношений можно рассматривать как разновидность матричного исчисления или как метод вычислений в теории графов, хотя они и отличаются от классических методов. Более того, теория композиции бинарных отношений — частный случай общей теории моноидов.

2.2. Декомпозиция нечетких отношений

Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем эти отношения могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечетких отношений на совокупность обычных отношений основаны на понятии α-уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будет предполагаться, что L линейно упорядочено.

α-уровнем нечеткого отношения называется обычное отношение Rα, определяемое для всех α >0 следующим образом:

Rα ={(x, y) X×X|R(x, y)≥α}. (46)

Если обычное отношение Rα подобно нечеткому отношению отождествлять с его характеристической функцией Rα: X×X →{0, 1), то соотношение (1.46) можно переписать в виде

Rα {(x, y)= (47)

Нетрудно увидеть, что α-уровни нечетких отношений удовлетворяют соотношению:

из α≤β следует Rα Rβ,

представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.

Теорема. Нечеткое отношение обладает каким-либо из свойств рефлексивностей, симетричностей, полнот, транзитивностей, тогда и только тогда, когда этим свойством обладают все его α-уровни, т. е. рефлексивно тогда и только тогда, когда при всех 0< α <I Rα также рефлексивно; транзитивно тогда и только тогда, когда транзитивны все Rα, и т. д.

Эта теорема играет важную роль в теории нечетких отношений.

Во-первых, эта теорема показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщенны и на случай нечетких отношений, и становится ясным способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы нечетких отношений могут быть представленны как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве X некоторого отношения заданного типа, например, эквивалентности или порядка, то построение на X соответствующего нечеткого отношения позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, что дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория нечетких множеств, позволяя учитывать эту неоднозначность возможных решений, ограничений, целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.

Согласно теореме декомпозиции нечеткое отношение может быть представлено в следующем виде:

= αRα,

где отношение αRα определются следующим образом:

αRα(х, у)= (48)

Кроме свойств рефлексивностей, симметричностей, полнот, транзитивностей, которые выполняются для всех α-уровней, могут быть определены аналогичные свойства, которые выполняются только для одного или нескольких α-уровней.

Приведем примеры таких α-свойств, предполагая, что элемент α фиксированный:

α-симметричность

(x, y)≥α(y, x)≥α х, у Х;

α - транзитивность

(х, у)≥α , (y, z)≥α(x, z)≥α х, у,z X;

α-транзитивность можно определить также следующим образом

(x, у)≥α, (y, z)≥α (x, z)≥{x, у) (y, z) х, y,z X.

Аналогично могут быть определены и другие α-свойства. Подобные α-свойства могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог α на силу отношения , или ищется такое α, при котором Ra имеет требуемое свойство. Например, α-свойства нечетких отношений рассматриваются при моделировании структуры сложных систем.

2.3. Транзитивное замыкание нечетких отношений

Большое значение в приложениях теории нечетких отношений играют транзитивные отношения. Такие отношения обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества X. Например, если отношение в X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества X на непересекающиеся классы сходств. Если же отношению в X придается смысл «предпочтения», «доминирования», «подчиненности», то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества X, существования «наилучших», «недоминируемых» объектов и т. п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания нечеткого отношения.

Пусть — нечеткое отношение в Р× Р. Определим

= функцией принадлежности

(х, z) = [MIN ( (х, у), (у, z))], (49)

где х, у, z P. Выражение (49) можно переписать в виде

(х, z) = [ (х, у) (у, z)].