Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 69 )

5в) Цикл поВыход в п. 5д. Из матрицывыбираем единичный элемент

добавляем его к Рі и получаем отношение

Проверяем полученную матрицу на транзитивность, для чего возводим в квадрат и проверяем включение

Если включение выполняется, то переходим к п. 5г, если же —

нет, то продолжаем перебор добавок Для нашего примера

5г) Полагаем Повторяем вычисления пункта 56 с той лишь разницей, что вместо матрицы отношения Pi вычитаем из Р матрицу полученного транзитивного отношения .

5д) Если ни одно добавлениек Pi не привело к новой

транзитивной точке , т. е. отношение Pi уже само есть макси­мальная точка, то в массив максимальных точек записыва­ем и продолжаем цикл по і, п. 5а. В противном случае в массив заносим матрицу найденного максимального от­ношения Pi и возвращаемся к п. 5а.

6. К этому моменту сформирован массив максимальных точек

Выписываем ядерное отношение по условию

Точки определяют ядро в пространстве и пред-

ставляют собой два допустимых групповых решения в удов-

летворяющих принципу Парето. Все остальные решения заполня­ют линейный сегмент между Перейдем теперь к пост­роению линейного сегмента. Обозначим множество точек линейно­го сегмента через

7. Выписываем матрицу

где

8. Построим массив адресов-индексов тех элемен­тов матрицы которые равны 1. Например, для матрицы

этот массив будет иметь вид

Далее будем перебирать все возможные комбинации «добавок» из к отношению Pmin следующим образом. Пусть

где через обозначено число элементов в равных 1. Теперь будем к Т прибавлять единицу по модулю 2. Если в получаемых таким образом числах номера позиций, за­нимаемых единицами, отождествлять с номерами адресов (l, k) в массиве L, то таким образом мы переберем все возможные ком­бинации «добавок». Объединяя Pmin с этими комбинациями и про­веряя полученное объединение на транзитивность, мы построим все точки линейного сегмента между и, следовательно, все допустимые групповые решения в пространстве

9. Если по условиям задачи допустимые групповые решения нужно получить в пространстве частичных порядков то мас­сив (PL) нужно вывести на печать.

В качестве дополнительных характеристик полученного мно­жества допустимых групповых решений в можно подсчитать нормированное расстояние между «крайними» мнениями из ядра по формуле

и коэффициент согласия Кендалла для этих же точек:

10. Если групповые решения ищутся в пространстве линейных квазипорядков то перенос точек ядра в пространство производится по формуле

гдеесть матрица группового предпочтения в a

Каждая полученная матрица проверяется на тран-

зитивность.

11. Если множество допустимых групповых решений в прост­ранствепусто, то за групповое решение принимается транзи­тивное замыкание отношения

12. Работа алгоритма после выполнения п. 11 заканчивается восстановлением по матрицам групповых решений рангов соот­ветствующих ранжирований.

9. Общий анализ выпуклых и метрических структур

В предыдущих разделах для решения проблемы группового выбора была развита общая теория выпуклых множеств в про­странствах бинарных отношений и рассмотрены ее реализации в трех конкретных пространствах отношений индивидуального предпочтения. Настало время ответить на два вполне уместных здесь вопроса: как реализуются результаты, полученные в рам­ках этой теории, в остальных пространствах системы прост­ранств, представленной на диаграмме 6.5, и как соотносятся групповые решения, получаемые на основе предложенного под­хода, и подхода, при котором для построения групповых реше­ний используется метрическая структура?

Отвечая на эти вопросы, удобно взглянуть на построенную в разделе 6 систему пространств как бы сверху. Мы начнем наш «обзор» с общего рассмотрения метрической структуры в полных пространствах и указания на ранее изученные в этом отношении пространства (9.1). В следующем параграфе будут рассмотрены выпуклые и метрические структуры в нерассматривавшихся ранее неполных пространствах. В конце этого па­раграфа ответ на первый вопрос будет представлен в таблице, подводящей итог изучению свойств полноты и выпуклости в пространствах диаграммы 6.5.

В последнем параграфе этого раздела будет проведено срав­нение указанных двух подходов к решению проблемы группо­вого выбора на конкретных примерах в двух пространствах диаграммы 6.5.

9.1. Близость и метрика в полных пространствах бинарных отношений

Интуитивно понятие близости существует в любом прост­ранстве с метрикой — мы говорим, что точка R «ближе» к точ­ке Р, чем точка Q, если где d — функция расстояния в заданном пространстве. Оказывается, что в любом пространстве бинардых отношений аксиоматическое описание понятия «функция близости», более широкое, чем понятие метрики, в конечном итоге приводит к однозначной метриче­ской структуре. Этим мы обязаны специфике рас­сматриваемых задач.

В этом параграфе мы рассмотрим функции близости и рас­стояния для случая полных пространств бинарных отношений, где связь между этими понятиями становится наиболее проз­рачной.

Начнем со следующего общего определения.

Определение 9.1. Пусть— произвольное пространство би­нарных отношений. Функцией близости на пространстве на­зывается каждая функциянаудовлетворяющая условиям: