Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 67 )

ществует отношение Р, отличное от Р1 и Р2 и такое, что

то отношение в силу биективнасти i, отлич-

но от R1 и R2 и что противоречит тому, что точки

R1 и R2 — соседние. Отсюда следует, что P1 и Р2 — соседние точ­ки в

По определению симметрической разности имеем

Ноесть одноэлементное множество в силу леммы 8.1, от-

куда и следует доказываемое утверждение.

Из доказанной леммы непосредственно следует, что спра­ведлива

Теорема 8.2. Пространствоесть полное пространство.

Точно таким же образом в пространство можно перенести понятия базиса, ядра, ядерной точки, рассмотренные в пространстве Все эти понятия переносятся из в

двойственной формулировке, т. е. с заменой минимальных эле­ментов на максимальные и наоборот.

Вся теория выпуклых множеств в пространстве могла бы быть построена на основе непосредственного изучения струк­тур этого пространства так, как это было сделано для пространст­ва Мы предпочли использованный здесь подход, так как он естественным образом вытекает из идей, развитых в разделе 6, где была построена диаграмма пространств бинарных отношений.

8.4. Построение ядра в пространстве

Из результатов раздела 7, опираясь на два определения по­нятия «между», можно получить точные алгоритмы для построе­ния выпуклой оболочки исходного множества предпочтений, что­бы затем для этой оболочки построить ядро. Однако основную задачу — построение ядра — можно решить, не используя опи­сания всего выпуклого множества. Опишем алгоритм построения ядра.

Пусть— множество точек в пространстве которые мы интерпретируем как индивидуальные предпоч­тения, и — выпуклая оболочка множества М. Пусть

Обозначим для каждого через

P′i максимальный элемент в Р, содержащий Для не-

которых i может быть или

Теорема 8.3. Отношение есть ядерное от-

ношение для и ядро состоит из всех точек, лежащих между

Доказательство. Покажем сначала, чтосовпадает

с выпуклой оболочкой множества Так как

то таким образом, все Pі при­надлежат выпуклой оболочке Согласно лемме 7.1 отсюда следует, что

Так как то т. е.

Так как и то снова согласно лемме 7.1

откуда следует доказываемое утверждение:

Из этого равенства с учетом очевидной максимальности всех

следует, что множество есть базисное множество, откуда и следует утверждение теоремы. Эта теорема (в «двойственной» формулировке) справедлива также и в пространстве

Интерес к ядру, построенному в этой теореме, вызван тем, что базис, на основе которого строится ядро, порождается исход­ной совокупностью точекПоэтому с точки зрения геометрического подхода это ядро отражает индивидуальную структуру исходного набора предпочтений, а не структуру произ­вольного базиса, порождающую то же выпуклое множество.

Исходя из свойств максимальных элементов и доказательства теоремы 8.3, легко описать алгоритм поиска максимального эле­мента P′i, ближайшего к данному Pi. Для исходной совокупности индивидуальных предпочтений определим отношение

Затем для каждого Pi ищем максимальный элемент, добавляя к Pi по одной паре предпочтений из

и проверяя полученное отношение на транзитивность. Процесс продолжается до тех пор, пока какую бы пару мы ни добавляли, транзитивное отношение не получается. Если такой пары пред­почтений вне нашлось, то, следовательно, P1 есть уже макси­мальная точка.

8.5. Построение ядра в пространстве

В задачу настоящей работы не входит подробное изучение структуры выпуклых множеств в пространстве аналогично то­му, как это было сделано для пространства Однако ввиду того, что отношения линейного квазипорядка в практиче­ских задачах встречаются довольно часто, здесь будет рассмотрен эвристический алгоритм построении ядра вы­пуклого множества в пространстве основанный на полученных выше результатах.

Пусть исходное множество отношений ин­дивидуального предпочтения X задано в прост­ ранстве В разделе 6 была рассмотрена коммутативная диаграмма 6.5 пространств би­нарных отношений. Фрагмент этой диаграммы, содержащий три рассматриваемых пространства, изображен на рис. 8.2.

Рис. 8.2.

Напомним, что отображение φ есть отображение вложения, т. е. в нашем случае пространство линейных квазипорядков есть подмножество пространства квазитранзитивных отношений и вкладывается в последнее целиком. Точки пространства в

пространстве характеризуются как транзитивные отношения

квазитраизитивного предпочтения. Используя отображения i и φ, можно определить образ множества X в пространстве как мно­жество

Для множества Y, согласно изложенному выше, можно пост­роить ядров пространстве В дальнейшем мы будем различать следующие две ситуации: