Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 80 )

В силу 11.1т. е. высота *) каждого нечеткого класса равна 1.

Напомним, что высотой h(x) нечеткого множества X называется верхняя грань значений его функций принадлежности.

Лемма 11.1. тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть Тогда

Обратно, пусть Тогда в силу (11.3) имеем

и

откуда

Следствие 11.1.

(11.4)

Доказательство. Пусть Тогда, в силу

конечности множества X, найдется такой, что и

откуда

Множество различных классов множества X относительно нечеткой эквивалентности I называется фактор-множеством и обозначается Таким образом, [x] есть элемент множества и два таких элемента совпадают тогда

и только тогда, когда

Следующая теорема характеризует основные свойства классов.

Теорема 11.1. Пусть I — нечеткая эквивалентность на X. Тогда

(11.5)

т. е. объединение (11.5) всех классов есть множество X;

(11.6)

(симметричность классов);

(11.7)

(свойство ограниченности пересечений классов).

Доказательство. Свойства (1) и (2) тривиально следуют из определения классов. Далее,

что и требовалось доказать.

Следствие 11.2. тогда и только тогда, когда

Доказательство. Достаточность непосредственно следует из (11.7). Пусть теперьТогда

что и требовалось доказать.

Основное отличие нечетких классов от четких состоит в воз­можности непустого пересечения нечетких классов. Однако, есть условие (11.7), дающее количественную оценку высоты пересече­ния нечетких классов. Последнее следствие утверждает, что усло­вие равенства нулю связи между двумя элементами множества X является необходимым и достаточным для непересечения соответ­ствующих нечетких классов.

Рассмотрим теперь вопрос о построении нечеткой эквивалент­ности по ее классам. Дадим следующее определение, обобщающее понятие разбиения на нечеткий случай.

Определение 11.7. Нечетким разбиением множества X называ­ется конечное множество Y различных нечетких множеств у с об­щей областью X таких, что

(11.8)

(11.9)

Из условий (11.8) и (11.9) легко следует, что для каждого существует единственный элемент такой, что

Введенное обозначение устанавливает адекватность условий (11.8) и (11.9) свойствам классов (11.4) и (11.7).

Легко, однако, проверить, что не каждое нечеткое разбиение является множеством классов некоторой нечеткой эквивалентно­сти. Следующая теорема содержит условия того, что нечеткое разбиение определяет нечеткую эквивалентность.

Теорема 11.2. Если нечеткое разбиение Y множества X удов­летворяет условиям

(11.10)

и

(11.11)

то оно является фактор-множеством множества X относительно нечеткой эквивалентности I, определяемой функцией принадлеж­ности

(11.12)

Доказательство. Установим необходимые свойства нечет­кого отношения I, определяемого условием (11.12). По определе­нию имеем т. е. I рефлексивно. Далее, в силу (11.10)

откуда I — симметричное отношение. Наконец, в силу (11.11), имеем

Таким образом, I является также транзитивным отношением. Из (11.12) очевидно, что классы относительно I совпадают с элемен­тами нечеткого разбиения Y. Теорема доказана.

Теорема 11.2 дает законченное описание нечетких отношений эквивалентности в терминах нечетких разбиений.

Пусть I — некоторая нечеткая эквивалентность на множестве X. Каждый элемент принадлежит, вообще говоря, разным классам, причем каждый раз мы можем указать степень принад­лежности данного элемента данному классу. Поэтому канониче­ское отображение π множества X на фактор-множество яв­ляется нечетким отображением. Дадим строгое определение и до­кажем свойства канонического отображения.

Определение 11.8. Пусть I — нечеткая эквивалентность на мно­жестве X, а— фактор-множество относительно I. Нечеткое соответствие с функцией принадлежности

(11.13)

называется каноническим отображением.

Отметим сразу, что (11.13) определено корректно. Действи­тельно, если то

в силу леммы 11.1. Аналогично откуда что доказывает корректность (11.13).

Следующая теорема устанавливает свойства канонического нечеткого отображения, аналогичные свойствам четкого канони­ческого отображения.

Теорема 11.3. Нечеткое соответствие π, определенное фор­мулой (11.13), является сюръективным нечетким отображением множества X на фактор-множествопричем

(11.14)

Доказательство. Имеем

Так как для выполнено является нечетким диагональным отношением на и π — сюръективно. Далее,

так как из следует и Теорема доказана.

Легко видеть, что образ элементаотносительно π состоит в точности из тех классов, которые содержат х, а прообраз лю­бого класса есть сам этот класс, рассматриваемый как нечеткое множество.