Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 73 )

Выпуклые оболочки для исходных данных представлены на рис. 9.2 и рис. 9.3 для пространств соответственно.

Рис.9.2

Рис.9.3

Для рассматриваемых исходных данных все необходимые ха­рактеристики точек, составляющих выпуклую оболочку в обоих пространствах, сведены в таблицу 9.1.

Таблица 9.1

Эта таблица устроена следующим образом. В столбцах 3 и 6 помещены все точки, от­меченные на рис. 9.2 и 9.3 для пространств соответст­венно. На одной и той же строке в этих столбцах указаны точки, соответствующие друг другу при переходе из одного простран­ства в другое, причем, если для точки из(например, точки РК) в пространствесоответствующей точки нет, то в столб­це 6 (напротив точки РК ) ставится прочерк. В каждом пространстве точки распределены на три группы (см. столбцы 1 и 2): составляющие выпуклую оболочку, являющиеся исходными и образующие ядро выпуклой оболочки. В столбцах 4 и 7 для соответственно звездочками отмечены точки, являющиеся медианами, а в столбцах 5 и 8 — являющиеся средними. Найти эти тачки можно непосредственным расчетом соответствующих сумм, подсчитывая расстояния от данной точки до всех исход­ных по рис. 9.1 или рис. 9.2 и 9.3. Заметим, что при расчете медиан и средних во внимание принимались все точки прост­ранств

Таким образом, в этом примере, как это видно из таблицы 9.1, для двух исходных точек R1 и R2 соответствующая им вы­пуклая оболочка в пространстве состоит из 8 точек, а в пространстве— из 13 точек. Ядро выпуклой оболочки в содержит одну точку R, в — две точки: Данные, характеризующие состояние проблемы группового выбора в рас­сматриваемом случае, представлены в таблице 9.2.

Таблица 9.2

Условия выбора группового решения в обоих пространствах при метрическом подходе можно признать довольно сложными. Если групповое решение выбирать из числа медиан, то в таковым может служить любая из восьми точек выпуклой обо­лочки, а в— любая из тринадцати точек выпуклой оболочки. Отметим при этом, что семь из восьми точек в и одиннадцать из тринадцати точек вне попадают в ядро. Привлече­ние среднего только приблизительно наполовину уменьшает число возможных групповых решений. Все ядерные точки попали в обоих пространствах в число медиан и средних. При «комплекс­ном» подходе, т. е. таком подходе, когда на втором уровне вы­работки группового решения рассматриваются только те точки, которые на первом уровне удовлетворяют требованиям обоих подходов одновременно, в пространстве было бы только одно решение — точка R, а в— только два решения:

Пример А2. Будем теперь все точки выпуклой оболочки в пространстве полученной в предыдущем примере А1, считать исходными, а поиск группового решения по-прежнему про­водить в пространстве Очевидно, что при таком выборе ис­ходных данных, выпуклые оболочки и их ядра в обоих прост­ранствах (см. рис. 9.2 и 9.3) останутся без изменений.

Таблица 9.3

Таблица 9.4

Как видно из таблиц 9.3 и 9.4, условия группового выбора при метрическом подходе изменились: в пространстве только две точки являются медианами, а в— только три. При гео­метрическом подходе множество допустимых групповых решений остается неизменным, поскольку ядра выпуклых оболочек не изменились. Отметим две особенности, выявляемые данной па­рой примеров. Первая — общая для всех пар рассматриваемых здесь примеров, состоит в том, что, как указывалось в 8.2, выпуклая оболочка для каждой совокупности данных в общем

случае может порождаться несколькими базисами. Так, напри­мер, выпуклая оболочка (см. рис. 9.2) в кроме базисов (Р1, Р2) и (1, 4) может быть образована базисами из точек

и т. д.

Выбирая эти наборы базисных точек в качестве исходных дан­ных при метрическом подходе, мы будем в общем случае по­лучать разные групповые решения при неизменном согласии всех наборов в смысле принципа Парето.

Вторая особенность состоит в следующем. В примере А1 при метрическом подходе можно было выбрать решения как принад­лежащие, так и не принадлежащие ядру. Рассматриваемый же набор исходных данных дает нам пример того, что множество решений при метрическом и геометрическом подходах могут не пересекаться: ни одна из точек 5, 6, 7, составляющих в прост­ранстве множество возможных групповых решений при метрическом подходе, не принадлежит ядру.

Пример Б1. Исходные данные этого примера приведены в таблице 9.5.

Таблица 9.5

Выпуклые оболочки исходных точек приведены на рис. 9.4 и 9.5.

Рис. 9.4.

Рис. 9.5.

Возможные групповые решения при метрическом подходе и точки для данных примера Б1 представлены в таблице 9.6.

Таблица 9.6

Характеристики условий для выбора группового решения на первом уровне собраны в таблице 9.7.

Таблица 9.7

Отметим, что расстояние между исходными точками

и само рас­положение точек по сравне­нию с примером А1, как это видно из сравнения выпук­лых оболочек на рис. 9.3 и 9.5, изменились незначитель­но, а размерность ядра в обоих пространствах увеличилась. Условия выбора группового решения сохраняют двухуровневость и аналогичны условиям примера А1. При комплексном подходе количество решений на первом уровне может быть сокращено до двух в каждом прост­ранстве.

Пример Б2. Пусть, как и в примере А2, точки выпуклой оболочки в пространстве будут исходными точками при поиске группового решения в пространстве Групповые ре­шения при обоих подходах представлены в таблице 9.8.

Таблица 9.8

Из таблицы 9.8 видно, что в обоих пространствах все медианы и все средние являются одновременно и точками ядра. В пространстве проблема выбора группового решения при комплексном подходе решается однозначно выбором точки R K.

Пример В1. Пусть исходные данные имеют вид

Таблица 9.9

Выпуклые оболочки исходных данных приведены на рис. 9.6 и 9.7.

Рис. 9.6

Рис. 9.7.

Как видно из рис. 9.7, исходные данные в пространстве составляют ядро и выпуклую оболочку одновременно. Раз­мещение медиан и средних показано в таблице 9.10.

Таблица 9.10

Таким образом, в пространстве любая исходная точка при геометрическом подходе может быть выбрана в качестве группового решения (см. табл. 9.11), а в —любая из семи точек выпуклой оболочки.