Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 89 )

Доказательство. Оба условия немедленно следуют из формулы (13.1).

Таким образом, установлено, что функция d, определенная формулой (13.1), удовлетворяет условиям 1—5, причем уже усло­виями 1—3 определяется однозначно. Условия 1, 2, 4, 5 в сово­купности эквивалентны обычным трем аксиомам геометрического расстояния. Подобная геометрическая трактовка функции бли­зости как функции расстояния позволяет при решении проблемы группового выбора использовать известные аналоги из геометрии и механики, например понятие центра тяжести и проч.

13.3. Базис выпуклого множества

Поскольку полнота пространствауже доказана в 13.2, и, следовательно, выпуклые оболочки в совпадают с множеством точек Парето, в этом параграфе будет рассмотрена бо­лее детально структура выпуклых множеств.

Для построения выпуклой оболочки С(М) множества М не всегда необходимо использовать все точки из М. Может оказаться так, что для некоторого собственного подмножества

Определение 13.2. Минимальное (по включению) подмноже­ство В множества М, обладающее свойством назы­вается базисом. Точки базиса В называются базисными точ­ками М.

Данное множество М может обладать различными базисами. Объединение всех базисов совпадает с множеством всех базисных точек. Другими словами, точка множества М является базисной тогда и только тогда, когда она входит в некоторый базис.

Изучим подробнее структуру базисных точек в пространстве В разделе 12 было рассмотрено пространство всех бинарных отношений на заданном множестве А. Доказанная там теорема 12.4 в применении к пространству утверждает, что

Тем самым, выпуклые оболочки в пространстве как бы

«наследуются» из пространства Наш интерес к этой теореме в данном случае определяется тем обстоятельством, что вы­пуклые оболочки в могут быть описаны следующим образом.

Теорема 13.4. Выпуклая оболочка С(М) любого конечного мно­жества М точек пространстваимеет вид:

где R′, R" — точки пространства

Доказательство. Положим

Очевидно, что Пусть

В силу теоремы 12.3

т. е.. Пусть теперь некоторое В силу выпуклости С(М) отсюда следует, что

Напомним (см. 12.1, пример 12.3), что пространство всех

нечетких бинарных отношений на множестве А из п элементов отождествляется с п2-мерным кубом всех функций на

удовлетворяющих условию С точки зрения такого представления пространства выпуклая оболочка, описанная в теореме 13.4, есть замкнутый параллелепипед в этом кубе с противоположными вершинами, определяемыми функция­ми принадлежности отношений R' и R", т. е. множество функций удовлетворяет условию

Этот факт позволяет дать простое описание базисных точек выпуклой оболочки конечного множества М в пространстве Оказывается, что базисные точки располагаются на гра­нице параллелепипеда, являющегося выпуклой оболочкой множества М в пространстве . Справедлива также

следующая теорема.

Теорема 13.5. Если точкаявляется базисной, то

(13.2)

хотя бы для одной пары

Доказательство. Предположим противное. Пусть В есть базис множества М, содержащий точку Р. Тогда, так как С(М)=С(В), то имеем

(13.3)

для всех пар Рассмотрим множество

Очевидно, Покажем, что Так как С(М) =

= С (В), то достаточно показать, что Так как

то из (13.3) следует, что

(13.4)

Очевидно, что Покажем, что Пусть Тогда

откуда в силу (13.4) имеем

т. е. Мы доказали, что Поскольку доказанный факт противоречит определению В как минимального подмножества в М, удовлетворяющего условию

Теорема доказана.

Отметим, что обратное к теореме 13.6 утверждение, вообще го­воря, неверно. Может оказаться так, что точка множества М лежит на границе параллелепипеда, являющегося выпуклой обо­лочкой этого множества в пространствено не является ба­зисной. Рассмотрим пример.

Пример 13.1. Пусть множество А состоит из двух элемен­тов. На рис. 13.1 изображена проекция пространствана под­пространство нечетких антирефлексивных отношений на множестве А.

Рис. 13.1

Такие отношения задаются матрицами вида, изображен­ного на рис. 13.2.

Рис. 13.2

Проекцияесть тогда единичный квадрат на координатной плоскости (х, у) (рис. 13.1). Очевидно, что про­странство есть объединение единичных отрезков на осях координат.

Пусть М состоит из трех частичных поряд­ков с матрицами, представленными на рис. 13.3.

Рис. 13.3.

Нарис. 13.1 эти точки обозначены буквами 0, Р и Q соответственно. Очевидно, что 0 удовлетворяет усло­вию (2) теоремы 13.5. В то же время эта точка не входит в единственный базис множества М, который состоит из точек Р и Q.

13.4. Ядро выпуклой оболочки

Основной задачей развиваемого подхода является построение множества допустимых групповых решений в пространстве Такое множество допустимых групповых решений будет построено в этом параграфе в виде ядра выпуклой оболочки. Результаты предыдущего параграфа относительно структуры ба­зисных точек позволяют ввести следующее