Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 19 )

В (56) для простоты предполагается, что L линейно упорядочено, т. е. для любых х, у L выполняется либо х≤у, либо y≤x.

Заметим, что при транзитивном замыкании нечеткого отношения в общем случае сохраняются лишь некоторые из свойств рефлексивностей, симметричностей, полнот, транзитивностей. Такими свойствами есть рефлексивность, симметричность, полнота и транзитивность.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим отношение , которое представлено на рис. 41, а. Можно рассчитать сначала (рис. 41, б), потом (рис. 41, в). Мы видим, что = , и вычисления можно здесь прекратить. Транзитивное замыкание представлено на рис. 41, г.

Рис. 41.

Глядя на рис. 42, можем убедиться, что

.

Рис. 42.

Пример 2. На рис. 43 представленно транзитивное отношение .

Рис. 43.

Производя вычисления, аналогичные только что проделанным, мы видим, что

= .

Пример 3. Рассмотрим отношение х у, где х, у N и

(x, y) = e-kxy

при значениях k>1 и достаточно больших для того, чтобы эта функция принадлежности выражала отношение «обе величины, как х, так и y, довольно маленькие неотрицательные целые числа» (иначе можно сказать, что по крайней мере один из двух элементов упорядоченной пары (х, у) достаточно мал). В качестве матричного представления этого отношения имеем

Вычисления дают матрицу

Следовательно, посколько вместо мы получили , то это нечеткое отношение нетранзитивно.

Аналогично легко показать, что этот вывод остается в силе, если х, у R+, a не только N.

Как говорилось в предыдущем пункте, мы вернемся к этому вопросу позже, где рассмотрим случай, когда Р не является конечным.

Пример 4. Вернемся к случаю, когда отношение Р×Р и Р — конечное множество, чтобы уяснить, что не всегда выполняется выражение (52).

На рис. 44 представлено отношения и последовательное вычисленные , ...

Рис. 44.

Заметим, что последовательность вычислений не сходится: не существует фиксированного k, после которого = .

Согласно (55) мы знаем, что можно остановиться при k = 3. А уже после этого получить легко.

Однако если внимательно рассмотреть все полученные отношения, то видно, что при k > 3 мы имеем

= =... = = = ...= ,

= =... = = = ...= .

Таким образом, здесь появляется поле для изучения циклических нечетких отношений. Изучение «циклических нечетких отношений» ограничим замечанием, и рекомендуем исследовать их тем читателям, которые заинтересуются ими.

Замечание. Возникает следующий вопрос: всегда ли композиция и(или) двух транзитивных отношений и дает транзитивное отношение. Как показывают следующие примеры, это не всегда так.

Пример 5. Пусть — отношения, которое приведено в (57). Проверяя свойство можно убедиться, что это отношение действительное транзитивно:

(57)

Пусть — отношение, которое задано (58). Проверяя свойство , убеждаемся, что это отношение также транзитивно:

(58)

Теперь подсчитаем

и ( )2

Включение ( )2 очевидно, удовлетворяется.

Теперь подсчитаем °

и ( )2

Мы видим, что включение ( )2 ° не выполняется и, следовательно, ° нетранзитивное.

Таким образом, композиция двух транзитивных отношений не всегда дает транзитивное отношение.

2.4. Нечеткие отношения предпорядка

Нечетким отношением предпорядка называется бинарное нечеткое отношение, обладающее свойствами транзитивности и рефлексивности.

Сначала рассмотрим теорему.

Теорема 1. Если — транзитивно и рефлексивно (т. е. предпорядок), то

= , k =1,2,3,...

Доказательство. Достаточно обратиться к определению транзитивности (44) и выражению ° и показать, что

если

х: (х, х)=1,

то

= .

Поскольку

=°,

то согласно (6) имеем

(х, z)= [ (х, y) (y, z)]. (59)