Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 91 )

14.1. Модель пространства

Определение 14.1. Пространством будем называть множе­ство всех действительных функций на удовлетворяющих условию антисимметричности

Из определения (14.1) следует, что для всех Функцию, тождественно равную нулю, будем обозначать

По аналогии с предыдущими исследованиями определим не­обходимые структуры в

1. Частичный порядок на определяется условием: тогда и только тогда, когда

2. Элемент лежит между элементами g и h; (обозначается тогда и только тогда, когда

3. Расстояние определяется формулой

Установим, что в п. 1 нами действительно определено отно­шение частичного порядка.

Лемма 14.1. Отношение определенное в п. 1, является реф­лексивным, антисимметричным и транзитивным отношением.

Доказательство. Рефлексивность отношенияочевид­на; проверим выполнение свойства антисимметричности. Пусть Тогда откудаи

Складывая последние два неравенства, получаем, что откуда

Докажем теперь транзитивность отношения Пусть и . Тогда имеем Перемножая эти неравенства, получаем: или, откуда

для тех пар (х, у), для которых Если же

то из следует, что откуда Окончательно получаем, что неравенство выполнено для всех пар (х, у), откуда ,

Доказательство окончено.

Докажем теперь, что частичный порядок и структура «меж­ду» на согласованы между собой.

Лемма 14.2. тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть т. е. Пусть также для некоторой парыТогда из неравенства имеем Так как

и

откуда

Если жеи

откуда, пользуясь антисимметричностью функций f и g,

Итак, мы доказали, что

ПустьТогда Если то это

означает, что т. е. выполняется неравенство

Если т. е.Таким образом, в любом случае т. е.и доказательство закончено.

Установим возможность изоморфного вложения пространства в пространство Докажем, что существует взаимноод-

нозначное отображение сохраняющее основные

структуры.

Теорема 14.1. Отображение пространства в пространство определенное формулой

(14.1)

где — функция принадлежности нечеткого частичного по-

рядка Р, является взаимнооднозначным вложением, сохраняющим структуры порядка, «между» и расстояние между парами точек. Доказательство. Нам предстоит доказать следующие че­тыре утверждения:

1. Отображение Ф взаимнооднозначное.

в тогда и только тогда, когда

в тогда и только тогда, когда

где первое расстояние вычислено в про­странстве а второе — в

Рассмотрим эти утверждения по порядку.

1. Взаимнооднозначность отображения Ф. Пусть для некоторых Если то Но тогда и откуда Если то и т. е.