Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 25 )

Нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами (97) — (99), называется отношением различия.

Пример 1. На рис. 67 представленно отношение различия (кроме того, отношение совпадает с отношением подобия на рис. 49).

Рис. 67.

В качестве упражнения проверим (97) для нескольких пар элементов.

Дуга (А, В).

(А, А) (А, В) = 0 0,2 = 0,2,

(А, В) (В, В) = 0,2 0 = 0,2,

(А, С) (С, В) = 0,3 0,3 = 0,3,

(A, D) (D, В) = 0 0,2 = 0,2,

(А, Е) (Е, В) = 0,1 0,2, = 0,2,

MІN [0,2; 0,2; 0,3; 0,2; 0,2] = 0,2,

(А, В) = 0,2 ≤0,2.

Дуга (А, С).

(А, А) (А, С) = 0 0,3 = 0,3,

(А, В) (В, С) = 0,2 0,3 = 0,3,

(А, С) (С, С) = 0,3 0 = 0,3,

(A, D) (D, С) = 0 0,3 = 0,3

(А, Е) (Е, С) = 0,1 0,3 = 0,3,

MIN [0,3; ...] =;0,3,

(А, С) = 0,3 ≤ 0,3 и т. д.

Пример 2. Отношения, которое представлено на рис. 67, есть отношения различия, если 1 ≥b1 ≥ b2 ≥...≥bl≥... ≥0.

Рис. 67.

Это отношение получается из отношения на рис. 51 заменой

(х, у) = 1 — (х, у).

Положим bі = 1 — aі, i = 1, 2, 3, ...

Пример 3. Нечеткое отношение

(х, у)=

есть отношения различия. Оно получается из

(х, у)=

заменой

(х, у)=1— (х, у).

Рассмотрим несколько примеров, но сначала, чтобы иметь все необходимое под рукой, напомним аксиомы, которые связаны с понятием расстояния между двумя элементами множества.

Если d (X, Y) — расстояние между X и Y, то для Х, Y, Z Е должны выполняться условия

1) d(X, Y) ≥0, (100)

2) d(X, Y) =d(Y, X), (101)

3) d (X, Y) * d(Y, Z) ≥d (X, Z), (102)

где * — операция, определенная на расстояниях d (X, Y).

К этим трех условий можно логически ввести четвертое:

d (X, X) = 0. (103)

Проверим (100) —(103) для (х, у); действительно, поскольку

0 ≤ (х, у)≤ 1,

то (100) удовлетворяется по определению. Соотношение (101) удовлетворяется в силу (99). Соотношение (102), где операция *

есть (min — mах)-операция, удовлетворяется в силу (1.97). Наконец, (103) тоже истинно [см. (98)]. Таким образом, можно положить

d(x, y) = (x, y)

и рассматривать (х, у) как расстояние между х и у ( в этом случае (х, у) можно также назвать расстоянием между х и у ).

(Міn-mах)-расстояние между двумя элементами в отношении подобия. Пусть - отношение подобия. (Міп-тах)-расстоянием между х и у, х, у Е, и E×E будем называть

(x, y) =1- (x, y).

Пример 4. Обратимся снова к примеру на рис. 49 (повтореному на рис. 68) — это отношение подобия .

Рис. 68.

На рис. 69 представленно отношение различия, соответствующее изображенному на рис. 68.

Рис. 69.

Таким образом, имеем

(A, B) = 0,2,

(A, C) = 0,3,

(A, D) = 0

.....и т. д.

Пример 5. Рассмотрим опять пример

(х, у)= ;

имеем

d(x, y)=

2.10. Отношения сходства

Сделаем некоторое лирическое отступление.

В теории обычных множеств тот факт, что это бинарное отношение не унаследовало свойства транзитивности, объясняет почти полное отсутствие интереса у части математиков к этому свойству. Точно так же, как карикатуристы, они каждый раз впадают в общую ошибку, полагая, что сходство транзитивно. Вспомним карикатуры, на которых видно, как изменяющиеся образы, появляются друг за другом, как гетман Мазепа меняется III превращается в макрель. Талант этих юмористов не должен затемнять их логическую ошибку. Записывая (в понимании теории обычных множеств), что А похоже на В, В похоже на С, С похоже на D, ..., К похоже на L, а поэтому А похоже на L, мы действительно получаем A=L; окончательный вывод из последовательности умозаключений неверен. Ложные выводы этой природы используются людьми для того, чтобы пошутить над чем-либо, или политиками, которые стремятся воспользоваться глупостью некоторых избирателей. Софисты имеют особую склонность уверять нас в существовании транзитивности там, где ее существование особенно сомнительно.

Однако в теории нечетких подмножеств можно измерять несколько видов сходства, используя понятие расстояния в транзитивном замыкании. Понятие сходства тогда устанавливает мост между эквивалентностью и сходством.

А теперь перейдем к делу.

Отношение , такое, что

1) (x, x) E×E: (х, х)=1 — рефлексивность,

2) (х, у) E×E: (х, у) = (у, х) - симметрия.

называется отношением сходства.

Пример 1. На рис. 70 приведен пример отношения сходства.

Рис. 1.70.

Пример 2. Отношение

(х, у)=е , х, у N,

как мы уже видели, нетранзитивно, но оно рефлексивно и симметрично, поэтому является отношением сходства.

( Min-mах)-расстояние на отношении сходства. Если есть

отношение сходства (композиция с сохраняет рефлексивность и симметричность ), то его транзитивное замыкание есть отношение

подобия. В таком случае понятия (min-mах)-расстояния, порожденного , можно определить через расстояние, порожденное :

(х, у)=1- (x, y).

Пример 3. Рассмотрим пример на рис. 70. С помощью композиционной формулы (39) мы подсчитали транзитивное замыкание , которое изображено на рис. 71.

Рис. 71.

Далее определили , такое, что

(х, у)=1- (x, y).

Отношение изображено на рис. 72.

Рис. 72.

Наконец, имеем

(А, В) = 0,4,

(A, C) = 0,2,

......................

(B, D)=0,4

.........................

и т. д.

Пример 4. Рассмотрим отношение сходства , определенное как

(х, у) = , х N, у N. (104)

Это отношение представлено на рис. 73.

Рис. 73.