Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 71 )

Изучим подробнее структуру соседних точек в пространстве Напомним, что точка L лежит между точками L1 и L2 тогда и только тогда, когда

(9.5)

Для любых двух элементов х и у множества А пусть и

— их номера в нумерациях, согласованных соответствен­но с Из (9.5) получаем

(9.6)

причем условия (9.6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы

Лемма 9.4. Согласованные нумерации соседних точек в отличаются перестановкой двух последовательных элементов. Доказательство. Пусть L1 и L2 - две соседние точки и

— нумерация, согласованная с а — нумерация тех же элементов в нумерации, согласован­ной с L2. Так как то найдется i такой, что Рас­смотрим точку L, для которой номера элементов есть Для L легко проверяется выпол­нение условий (9.6) и, следовательно,Так как L1 и L2 — соседние точки и откуда и следует утверж­дение леммы.

Теперь мы обратимся к выпуклым структурам пространства Для этого пространства справедливы все общие определения и результаты 7.1—.2. Однако пространство очевидным образом не является полным пространством — матрицы двух соседних отношений, как это следует из леммы 9.4, различаются ровно на двух элементах. Несмотря на это здесь удается установить эквивалентность двух определений вы­пуклости (см. 7.2).

Лемма 9.5. В любом пространстве из выпуклости в смысле определения 7.4 следует выпуклость в смысле опреде­ления 7.5.

Доказательство. Пусть— множество, выпуклое в смысле определения 7.4, и пусть Рассмотрим линейный сегмент между L1 и L2. Предположим, что Так как то в линейном сегменте между L1 и L

найдутся две соседние точки такие, что а

Пусть—нумерация элементов, согласованная с

L′. Тогда в силу леммы 9.4 номера тех же элементов в нумера­ции, согласованной с L", будут

для некоторого i. Пусть — номера тех же элементов в нумерации, согласованной с L. Так как то в силу второго условия из (9.6) имеем Пусть теперь — номера тех же элементов в нумерации, согла­сованной с Так как то Отсюда в силу найдется номер r, для которого Покажем, что Условие 1 из (9.6), очевидно, выполнено, так как a L" отличается от L′ перестановкой объектов с номерами i и i +1. Из тех же соображений следует выполнение условия 2 из (9.6). Но и а что противоречит выпуклости X. Полученное противоречие показывает, что т. е. множество X выпукло в смысле определения 7.5. Лемма доказана.

Объединяя результат леммы 9.5 с результатом леммы 7.4, получаем теорему.

Теорема 9.2. В пространстве (и изоморфном ему пространстве оба определения выпуклости эквивалентны.

На этом мы закончим рассмотрение выпуклых структур в пространствахи перейдем к изучению структуры близости и метрики в этих пространствах.

Несмотря на то, что пространстване являются полными, для них возможно определение функции близости. Так как в 9.1 было показано, что из существования функции близости, удовлетворяющей условиям А1 и А2, следует ее единственность в любом пространстве бинарных отношений, то достаточно по­казать, что в пространстве существует функция удовлетворяющая А1 и А2.

Определимформулой

(9.7)

Условие А1 проверяется так же, как и в произвольном прост­ранстве (см. 9.1). Пусть теперь L1 и L2 — соседние точки в пространстве Из леммы 9.4 следует, что матрицы отношений L1 и L2 различаются ровно на двух элементах. Поэтому откуда следует А2. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.3. В пространстве существует единственная функция близости, удовлетворяющая условиям А1 и А2. Эта функция близости задается формулой (9.7).

Так как dχ является метрикой, то справедлива

Теорема 9.4. Функция близости, определенная в теореме 9.3, задает метрическую структуру пространства

Полученные выше в этом параграфе результаты вполне ана­логичны результатам для полных пространств. Возвращаясь к диаграмме 6.5, можно сказать, что для пространств предпочте­ний 1-го, 3-го и 4-го «этажей» этой диаграммы два общих опре­деления выпуклости оказываются эквивалентными, что позволя­ет развивать для них геометрический подход к проблеме груп­пового выбора, предложенный в данной работе. Далее, для этих же пространств оказался возможным общий подход к понятию функции близости (условия А1 и А2) и построение на его основе метрики в этих пространствах. Эта метрика для единственного из этих пространств, изучавшегося ранее,— пространства позволяет развивать в этих пространствах метрический подход.

Обратимся теперь к пространствам 2-го «этажа» диаграммы 6.5. Это пространство(и изоморфное ему пространство и пространство безразличия В ряде работ был намечен метрический подход к проблеме группового выбора в данных пространствах. Относительно сложная структура самих отношений в этих пространствах и, особенно, соседних отноше­ний, не позволяет реализовать для них рассматриваемы подход, основанный на функциях близости. Введение метрики в этих пространствах возможно только лишь на основе довольно громоздкой системы аксиом, хотя в конечном итоге эти метрики совпадают с рас­стоянием Хемминга, что имеет место и при данном подходе.