Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 55 )

Рассмотренную ситуацию формально можно описать следую­щим образом. Пусть А — конечное множество объектов, называе­мое носителем системы. Объекты из А являются носителями ис­следуемого свойства (признака, фактора). Множество А вместе с фиксированным на нем множеством отношений называется системой с отношениями и обозначаетсям

В зависимости от того, какова при­рода объектов и отношений (эмпирическая или числовая), система с отношениями называется эмпирической или числовой системой с отношениями соответственно. Простейшей эмпирической систе­мой с отношениями, служащей основанием для шкал наименова­ний, является системагде есть отношение экви­валентности.

В большинстве встречающихся на практике случаев измерение качественных свойств производится в шкалах порядка, приводя­щих к представлению результатов измерений в виде ранжирова­ний. В этом случае эмпирическая система с отношениями содер­жит по крайней мере отношения эквивалентности и порядка та­кие, что соответствующая система с отношениями представляет собой упорядоченное множество. Примером такой системы может служить множество индивидуумов, сравниваемых, скажем, по уровню умственных способностей.

На языке введенных понятий теории измерений отображение называется шкалой порядка, если m — монотонно воз­растающее преобразование, где — эмпирическая система с отношениями эквивалентности и строгого предпочте­ния — числовая система с отношениями равен­ства = и порядка <. Такое отображение называется гомоморфиз­мом системы.

Широкое использование шкал порядка в практике получения данных об индивидуальных предпочтениях объясняет интерес многих исследователей к методам обработки измерений в этих шкалах, в том числе и при поиске групповых предпочтений. По­этому естественно обращение к теории, в рамках которой рассмат­риваются условия, налагаемые на методы обработки измерений в различных шкалах, т. е. обращение к теории измерений.

Отметим далее, что, вообще говоря, существует целый класс шкал, отображающих данную эмпирическую систему в числовую. Эти шкалы между собой связаны допустимыми преобразованиями, которые переводят данную шкалу в эквивалентные ей шкалы.

Для шкалы порядка класс допустимых преобразований состав­ляют все монотонно возрастающие преобразования, ими же огра­ничиваются и возможности обработки результатов измерений в этой шкале. По этой причине многие традиционные способы обоб­щенного описания (осреднения) результатов таких измерений не­пригодны, поскольку для статистик, включающих средние стан­дартные отклонения, знание лишь порядка следования недоста­точно. К допустимым статистикам в данном случае относятся только квантили и процент присвоения данному объекту опреде­ленного ранга, чего явно недостаточно для решения практических задач.

Таким образом, обращение к теории измерений позволяет нам только выявить те ограничения, которые необходимо соблюдать при «арифметической» обработке индивидуальных суждений о порядке предпочтений на исследуемых объектах, и практически не дает нам никаких средств, позволяющих находить групповое предпочтение. Поэтому невольно возникает мысль искать такое представление для измерений предпочтений, которое, с одной сто­роны, гарантировало бы удовлетворение выявленных ограничений на методы обработки измерений, а с другой стороны, давало бы возможность применения других «неарифметических» методов об­работки измерений.

В соответствии с тем, что исходными данными в проблеме агрегирования служат совокупности индивидуальных отношений предпочтения, мы будем рассматривать совокупности из т индивидуальных суждений о порядке предпочтений на множестве

Поэтому числовая системакоторую мы будем рассматривать, состоит из m-мерного линейного пространства — носителя числовой системы и совокупности из т отношений предпочтения на причем i-e отношение задается сравнением двух векторов изпо величине і-й координаты.

Любой гомоморфизм эмпирической системы в выбранную чис­ловую систему задается функцией f, которая каждому объекту из эмпирической системы ставит в соответствие точки в носителе числовой системы, т. е. точки в пространстве Задающие эти гомоморфизмы числовые функции f называются представляющи­ми функциями (другими словами, действительная функция f на объектах представляет данное упорядочение множества А, если числа упорядочены по величине так же, как объекты множества А в данном упо­рядочении.). Для системы представляющие функции яв­ляются действительными m-мерными вектор-функциями. Постро­енная шкала определяется упорядоченной тройкой

Для данных эмпирической и числовой систем могут сущест­вовать различные представляющие функции f. Обозначим через φ преобразование, связывающее два некоторых гомоморфизма f и g данной эмпирической системы в числовую систему. Это преобра­зование задает изоморфизм числовой систе­мы на себя. Для системы такие изомор­физмы могут, например, задаваться монотон­ными преобразованиями координат векторов из причем каждая координата подвергается своему монотонному преобразованию.

Множество всех изоморфизмов φ образует группу Ф.

Мы скажем, что две шкалыпринадлежат шкалам одного и того же типа Ф, если существует такое что диаграмма на рис. 1 коммутативна.

Рис. 1

Рассмотрим теперь векторное пространство Е всех функций на А со значениями в Размерность Е равна т×п. Для каждой фиксированной системы множество ее представляющих функций является подмножеством в пространстве Е. Простран­ство Е будем называть пространством шкал. Группа Ф действует на пространстве шкал Е как группа взаимнооднозначных преоб­разований. Именно, каждой ставится в соответствие для Все пространство распадется на орбиты относитель­но группы Ф, т. е. представляется в виде объединения непересе­кающихся минимальных подмножеств. (Орбитой элемента под действием группы преобразований называется множество всех его образов при действии элементами этой группы.) Каждая такая орбита со­стоит из множества всех представляющих функций для некоторой системыи, наоборот, для каждой системымножество всех ее представляющих функций составляет орбиту группы Ф. Тем самым между множеством орбит пространства шкал Е и множест­вом всех эмпирических системустановлено взаимнооднознач­ное соответствие. Каждую орбиту в Е можно задать с помощью уравнений и неравенств.

В теории измерений вопросы обработки данных исследуются в связи с так называемой проблемой адекватности. Проблема адекватности возникает в общем случае при рассмотрении воп­роса о том, какие отношения в числовой системе соответствуют «истинным» отношениям в эмпирической системе. Простые при­меры показывают, что не любые отношения между результатами измерений соответствуют «истинным» отношениям между объек­тами. Более того, указания на некоторые отношения между изме­рениями могут оказаться бессмысленными без указания на то, в какой шкале были произведены измерения. Например, справед­ливость числового утверждения, что квадрат массы одного тела меньше массы другого тела, зависит от шкалы измерения масс. Другими словами, возникает проблема адекватности операций, которые производятся над измерениями, тем отношениям, кото­рые существуют в эмпирической системе.