Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 30 )

2.12. Обобщение нечеткого отношения предпочтения. Принцип обобщения.

Пусть на универсальном множестве Y задано нечеткое отношение предпочтения (н. о.п.) R  с функцией принадлежности . Пусть Y – класс всех нечетких подмножеств множества Y, т. е. класс всех функций вида  . Сформулируем следующую задачу: определить, какое нечеткое отношение предпочтения отображает на класс Y исходное н. о.п. R

Для решения этой задачи воспользуемся принципом обобщения, который был предложен Л. Заде. В его основе лежит определение нечеткого множества при обычном (четком) отображении.

Пусть  – заданное отображение, А — некоторое нечеткое подмножество множества Х с функцией принадлежности . В соответствии с принципом обобщения образ А при отображении φ определяется как нечеткое подмножество множества Y, представляющее собой совокупность пар вида

 ,  (1)

где  – функция принадлежности образа.

Функцию принадлежности  можно записать в виде

 ,  (2)

где множество  для любого фиксированного  имеет вид  т. е.  представляет собой множество всех элементов , образом каждого из которых при отображении φ является элемент y.

Применим принцип обобщения в форме (1) для расширения области определения нечеткого отображения.

Нечеткое отображение можно описать как отображение, при котором каждому элементу  ставится в соответствие не конкретный элемент множества Y, а в общем случае некоторое нечеткое подмножество множества Y. Нечеткое отображение описывается функцией вида , тогда функция  при фиксированном x0 есть функцией принадлежности нечеткого множества в yÎY, представляющего собой нечеткий образ элемента x0 при данном отображении.

Например, для систем управления нечеткое множество  можно трактовать как нечеткое описание реакции этой системы на управление x0 . Итак, пусть  – заданное нечеткое отображение,  — нечеткое множество в X, и необходимо найти образ B  нечеткого множества A при этом отображении. Если для этого применить принцип обобщения в форме (1), то получим совокупность пар вида , где  при каждом фиксированном  представляет собой нечеткое подмножество множества Y. Получаем, что образ нечеткого множества  в данном случае – это сложный объект: нечеткий подкласс класса всех нечетких подмножеств множества Y. Использование подобных объектов на практике весьма затруднительно. Поэтому предложил принцип обобщения в более удобной форме. В его основе лежит следующее определение образа нечеткого множества при нечетком отображении.

Определение 1. Образом B нечеткого множества A в X при нечетком отображении  называется нечеткое множество B с функцией принадлежности вида

 .  (3).

В основе этого определения образа лежит максиминная композиция нечетких отношений  и . Можно проверить, что в частном случае, когда  – обычное (четкое) отображение вида  (т. е. , при  и  для остальных пар  (x, y)), определение 1 дает

 ,  (4)

что соответствует приведенному определению образа при обычном (четком) отображении на основе принципа обобщения Заде.

Иногда заданное нечеткое отображение  может зависеть от n переменных, т. е. иметь вид

 ,

где

  .

Пусть на множестве  задано нечеткое подмножество . В общем случае его функция принадлежности задается так:

 ,  (5)

где  и  – заданные нечеткие подмножества соответствующих множеств  и X. Применив в этом случае принцип обобщения в форме (3), получим следующее выражение для функций принадлежности образа нечеткого множества

  (6)

Обобщенное нечеткое отношение предпочтения.

Используем введенный выше принцип обобщения для решения задачи, сформулированной  в начале разд. 2.12.

Рассмотрим заданное на множестве Y  н. о.п. R  с функцией принадлежности  .

Пусть – некоторое нечеткое подмножество множества Y. Тогда согласно принципу обобщения образ  при нечетком отображении  есть нечеткое подмножество Y  с функцией принадлежности вида:

 .  (7)

Эта функция η описывает обобщение отображения исходного н. о.п. на множество Y ´ Y. Иными словами, для фиксированного Y функция  описывает нечеткое множество элементов Y, связанных с  обобщенным отношением R′, т. е. таких , что . Следовательно, велечина  есть степень, с которой нечеткое множество  предпочтительнее элемента y. Аналогично

  (8)

есть степень обратного предпочтения .