Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 79 )

В матрице антирефлексивного нечеткого отношения на главной диагонали стоят нули.

3. Симметричность нечеткого отношения R означает, что

Матрица симметричного отноше­ния есть симметричная матрица.

4. Антисимметричность нечеткого отношения R означает, что из следует, что В матрице антисимметричного отношения произведение симметричных от­носительно главной диагонали элементов равно нулю.

5. Транзитивность нечеткого отношения R означает, что для любых выполняется соотношение

В терминах композиции отношений это условие означает, что Можно показать, что для рефлексивного R транзитив­ность означает, что Примером транзитивного нечеткого отношения может служить отношение Р из примера 11.1 как это было показано в примере 11.5.

Транзитивным замыканием нечеткого отношения R называ­ется наименьшее транзитивное отношение, содержащее R. Тран­зитивное замыкание отношения R может быть найдено по фор­муле

Где

6. Линейность (связность) нечеткого отношения R означает, чтодля любой пары или или

11.4. Типы нечетких бинарных отношений. Нечеткие отображения

Различные комбинации перечисленных свойств определяют важнейшие классы нечетких отношений. Мы перечислим те из них, которые будут использованы в настоящей работе.

1. Частичный нечеткий порядок. Так называются антисиммет­ричные транзитивные нечеткие отношения. Если наложены до­полнительно условия рефлексивности или антирефлексивности, то соответствующий частичный нечеткий порядок называется рефлексивным или антирефлексивным.

2. Линейный нечеткий порядок. Если частичный нечеткий порядок обладает свойством линейности, то он называется ли­нейным порядком.

3. Нечеткая эквивалентность. Так называется рефлексивное, симметричное и транзитивное нечеткое отношение.

4. Нечетная диагональ. Рефлексивные нечеткие отношения такие, что для называются нечеткими диаго­налями, или диагональными отношениями. Ниже будут также определены понятия нечеткого отношения квазипорядка и нечеткого квазитранзитивного отношения.

Если элементы множества занумерованы, то бинарные нечет­кие отношения представляются квадратными матрицами с эле­ментами, принадлежащими [0, 1]. В этом случае для нечеткого частичного порядка нумерация элементов множества А может быть выбрана так, что отношение представляется треугольной матрицей. Точнее, справедливо следующее утверждение, являю­щееся частным случаем теоремы, доказанной Л. Заде.

Утверждение 11.1. Пусть Р — отношение строго нечеткого частичного порядка на множестве А из п элементов. Тогда су­ществует такая нумерация элементов множества что из следует, что i<j.

Нумерацию, существование которой имеется в виду в утверж­дении, будем называть согласованной с Р. Отметим, что такая нумерация определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Доказательство утверждения 11.1. Обозначим через Р0 нечеткое подмножество состоящее из тех пар

для которых Легко видеть, что Р0 есть четкий частичный порядок. Пусть — какая-нибудь нумерация множества А, согласованная с этим частичным порядком. Очевидно, что это и есть искомая нумерация.

Если Ф — нечеткое соответствие с областью а R - нечеткое отношение на Х1, то нечеткое отношениена Х2

называется образом нечеткого отношения R относительно нечет­кого соответствия Ф. Прообразом нечеткого отношения относи­тельно нечеткого соответствия Ф называется его образ относи­тельно обратного соответствия Ф-1.

Другой важный частный случай нечеткого соответствия — это понятие нечеткого отображения.

Определение 11.4. Нечетким отображением F множества X в нечеткое множество Y называется такое нечеткое соответствие с областью что

(1)

(2)

где — некоторые диагональные нечеткие отношения (за-

висящие от F) на множествах Y и X соответственно. Как обычно, будет обозначать нечеткое отображение множества X во множество Y.

Условие (1) означает, что для каждогосуществует не

более одного такого, что (функциональность

нечеткого отображения). Условие (2) означает, что для каждого существует такой, что (т. е. что F всюду определено на X). Нечеткое отображение F называется инъективным, если и сюръективным, если для некоторых нечетких диагоналей

Понятие образа и прообраза для нечетких отображений те же, что и для нечетких соответствий.

11.5. Структура нечетких отношений эквивалентности

В этом параграфе будет полностью описана структура нечет­ких эквивалентностей на конечном множестве. Напомним опреде­ление нечеткого отношения эквивалентности на множестве X.

Определение 11.5. Нечеткое отношение I на множестве X на­зывается нечеткой эквивалентностью, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Рефлексивность:

(11.1)

2. Симметричность:

(11.2)

3. Транзитивность:

(11.3)

Отметим, что условие транзитивности, в силу рефлексивности, может быть записано в виде

В четком случае каждое отношение эквивалентности определяет разбиение множества X на непересекающиеся классы попар­но эквивалентных элементов. Множество всех классов образует фактор-множествоОбратно, каждое разбиение множества X определяет на этом множестве некоторое отношение эквивалент­ности. Существует также сюръективное отображение называемое каноническим, в терминах которого могут быть опи­саны как само отношение эквивалентности (ядро канонического отображения π), так и его классы (прообразы элементов фактор-­множества).

Ниже будут определены нечеткие аналоги этих понятий и до­казаны аналогичные свойства нечетких эквивалентностей, клас­сов и канонических отображений.

Определение 11.6. Пусть I — нечеткая эквивалентность на мно­жестве X. Нечетким классом элемента аХ относительно I на­зывается нечеткое множествотакое, что