Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 20 )

Правая часть (59) содержит два равных члена

(х, х) (х, z)= (х, z) (z, z) = (х, z),

поскольку в силу рефлексивности

(х, х)=(z, z)=1.

Напомним, что -транзитивное отношение, т. е.

(х, z)≥[ (х, y) (y, z)],

и поэтому (y, z) не меньше, чем (х, y) (y, z).

Следовательно, (х, z) — значение правой части (59), и мы действительно имеем

= . (60)

Теорема 2. Если — предпорядок, то

==...==. (61)

Доказательство. Это следствие из теоремы 1. Достаточно рассмотреть (50) и (60) вместе.

Пример 1. На рис. 45 изображен предпорядок

Р = {А, В, С, D, Е}.

Рис. 45.

Его транзитивность можно проверить с помощью соотношения

.

Рефлексивность непосредственно следует из существования единиц на главной диагонали.

Наконец, можно проверить, что действительно

= .

Пример 3. Нечеткое бинарное отношение х у, где х, уN, с функцией принадлежности

(х, y) = е , k>1,

не предпорядок, так как оно нетранзитивно.

Пример 4 (рис. 46).

0≤а1≤а2≤... ≤ak ≤ ... ≤1.

Рис. 46.

Это отношение на счетном бесконечном множестве Р есть предпорядок.

Нечеткий полупредпорядок. Транзитивное нечеткое отношение, которое не обладает свойствами рефлексивности, называется

полупредпорядком, или, что то же самое, нерефлексивным нечетким предпорядком.

Пример 1. Отношения, которое представлено на рис. 47, транзитивно, но не рефлексивно; это отношение — полупредпорядок.

Рис. 47.

Пример 2. Отношение на рис. 38 есть полупредпорядок.

Антирефлексивный нечеткий предпорядок. Частным случаем нечеткого полупредпорядка есть отношение, у которого

х Р: (х, х) == 0.

В этом случае говорят, что нечеткий предпорядок антирефлексивный. Таким образом, отношение предпорядка на рис. 48 антирефлексивно.

Рис. 1.48.

2.5. Отношение подобия

Отношение подобия, или нечетким отношением эквивалентности, называется нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами:

1) транзитивности;

2) рефлексивности;

3) симметричности.

Очевидно, что это предпорядок.

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим отношение, которое представлено на рис. 49.

Рис. 49.

Можно непосредственно убедиться, что оно рефлексивно и симметрично. Для проверки транзитивности достаточно подсчитать .

Тогда согласно (61) должны иметь

=.

Пример 2 (рис. 50). Если положить 0≤ а≤ 1, то имеем отношение подобия.

Рис. 50.

Пример 3 (рис. 51). Если положить

0≤а1≤а2≤... ≤ak ≤ ... ≤1.

то это отношение подобия, которое определено на бесконечном множестве Р.

Рис. 51.

Пример 4. Нечеткое отношение ху, где х, у R+, определяемое функцией принадлежности

(х, у) = e , y<х, k>1;

(х, у)= 1, у = х,

(х, у)= е , у>х, k>1,

есть отношение подобия.

Теорема 1. Пусть P×P — отношение подобия. Пусть также

х, у, z — три элемента множества P. Положим

Тогда

с≥а= b, или а ≥b = c, или b ≥ c = а.

Другими словами, из этих трех величин а, b и с по крайней мере две величины равны друг другу, а третья больше двух остальных.

Доказательство. Итак, по нашей гипотезе имеем

с≥а b, (62)

b ≥ c а. (63)

а ≥b c. (64)

Предположим, что

с ≥ b > а, (65)

тогда соотношения (62) и (63) удовлетворяются, а (64) — нет, и если положить b=а, то уже удовлетворяются все три соотношения. Предположим, что

с≥а>b. (66)

Тогда (62) и (64) удовлетворяются, а (63) - нет, и если положить а = b, то удовлетворяются все три соотношения.

Далее, если ни (65), ни (66) не выполняются, то выполняется соотношение

c≥a=b.

Аналогично можно показать, что не может быть ни а ≥b>с, ни а≥с>b. Однако справедливо соотношение

а≥b = с.

Аналогично можно показать, что не может иметь место ни b≥с>а, ни b≥а>с, однако справедливо соотношение

b≥а = с.

Таким образом, необходимо, чтобы всегда по крайней мере две из этих величин были равны.

Теперь неравенства (62)—( 64) дают нам:

если а=b,

с≥а b,

b = c а,

а =b c;

если b = с,

с=а b,