Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 81 )

Утверждение теоремы 11.3, вообще говоря, не допускает обра­щения. Точнее, может существовать сюръективное нечеткое отоб­ражениетакое, что в то же время не явля­ющееся каноническим отображением. Пусть, например, X — трех­элементное множество, а нечеткая эквивалентность I задана мат­рицей

Легко проверить, что π задается матрицей

нечеткое отображение f, заданное матрицей

является сюръективным, и

В отличие от четкого случая не всякое нечеткое отображение порождает нечеткую эквивалентность. Пусть— некото-

рое нечеткое отображение. Покажем, что прообразы F-1(y) эле­ментов образуют нечеткое разбиение множества X. Так как F — нечеткое отображение, то

Далее, из тех же соображений

Следовательно, также образует нечеткое разбиение. Полу-

ченное нечеткое разбиение множества X, вообще говоря, не удов­летворяет условиям (11.10) и (11.11) и, следовательно, может не за­давать нечеткую эквивалентность на X.

11.6. Нечеткие предпочтения

Дадим следующее общее определение.

Определение 11.9. Нечетким предпочтением на множестве Х называется произвольное рефлексивное линейное нечеткое отноше­ние R на множестве X.

Значение интерпретируется как степень выраженнoсти представления о том, что элемент х «не хуже» элемента у. Требования рефлексивности и линейности являются обычными в теории рационального выбора, так как они необходимы для суще­ствования функции выбора, основанной на предпочтении.

С понятием нечеткого предпочтения тесно связаны понятия строгого нечеткого предпочтения и нечеткого отношения безраз­личия.

Определение 11.10. Пусть R — нечеткое предпочтение на мно­жестве X. Строгим нечетким предпочтением называется нечеткое отношение Р с функцией принадлежности.

(11.15)

Нечетким отношением безразличия называется нечеткое отноше­ние с функцией принадлежности

(11.16)

Отметим сразу, что в силу (11.15) и (11.16) отношение Р явля­ется антисимметричным и антирефлексивным, а І — симметричное и рефлексивное нечеткое отношение.

В теории рационального выбора большую роль играют отно­шения линейного квазипорядка, которые определяются как реф­лексивные линейные транзитивные отношения. Эта роль обуслов­лена простой структурой таких отношений. Именно, оказывается, что каждое такое отношение определяет разбиение множества X на классы попарно неразличимых элементов, при­чем сами классы данным отношением уже просто упорядочены.

Таким образом, требование одной лишь транзитивности предпоч­тения достаточно для весьма полного описания его структуры. Та­кая структура отношения линейного квазипорядка позволяет строить «хорошие» функции выбора, основанные на таких пред­почтениях.

Ситуация резко меняется при переходе к рассмотрению нечет­ких предпочтений. Здесь требование одной лишь транзитивности оказывается слишком слабым для выявления какой-либо струк­туры, полезной для построения «разумной» функции выбора (хотя существование функции выбора в этом случае легко устанавлива­ется). В следующем параграфе мы подробна изучим различные виды транзитивности нечетких предпочтений и связи между ними. Здесь же мы дадим соответствующее опреде­ление.

Определение 11.11. Предпочтение обладает свойствами

тогда и только тогда, когда выполнены соотношения соответственно

(11.17) (11.18) (11.19) (11.20) (11.21)

Очевидно, что свойствавыражают просто тран-

зитивность нечетких отношений R, Р и I соответственно.

В четком случае из транзитивности предпочтения R следует выполнение всех свойств (11.18) — (11.21), что, по существу, и об­условливает «хорошую» структуру линейных квазипорядков. Ни­же будет показано, что в нечетком случае связи между различ­ными свойствами транзитивности значительно более слабы.

11.7. Соотношения между свойствами транзитивности

В этом параграфе будут установлены все логические связи между различными свойствами транзитивности нечетких предпоч­тений (11.17) -(11.21).

Лемма 11.2.

Доказательство. В силу (Т) имеем

откуда следует (ІІ).

Лемма 11.3.

Доказательство. Для отношений І утверждение теоремы доказано в ряде работ. Покажем, что отношение Р транзитивно. Нам надо показать, что

(*)

Очевидно, что можно считать Но тогда причем и Если то и (*) совпадает с условием транзитивности отношения R.

Предположим, что Тогда или

Итак, мы имеем и Среди этих шести чисел выберем наименьшее. Очевидно, возможны три случая:

а) Наименьше еестьТогда

Так как не наименьшее, то и НоТак как — наименьшее число, то одно из

тоже должно быть наименьшим, что противоречит исходным не­равенствам.

б) Наименьшее есть Тогда откуда — наименьшие. Так как

то мы получаем противоречие.

в) Наименьшее есть Тогда Но заведомо не наименьшие, и мы опять получаем противоречие.

Отметим, что обратное утверждение неверно, т. е. транзитив­ность отношений I и Р, вообще говоря, не влечет транзитивности отношений R. Таким образом, отношение безразличия всегда яв­ляется нечетким отношением эквивалентности.

Лемма 11.4.