Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 58 )

С каждым способом измерения в шкале данного типа связана определенная форма представления результатов измерений. Так, результаты измерений в шкале порядка на данном множестве объектов могут быть представлены, например, в виде значений представляющих функций на этих объектах или в виде последо­вательности номеров мест, упорядоченных так же, как и значе­ния представляющих функций, или же могут быть заданы в виде неравенств. Выбор той или иной формы для представления ре­зультатов измерений предпочтений в шкале данного типа в конеч­ном итоге определяется тем математическим аппаратом, который предполагается использовать для анализа и обработки измерений, или принципом их агрегации.

В последующих разделах будет систематически использоваться аппарат обычной теории множеств и теоретико-мно­жественное представление измерений предпочтений. Язык бинар­ных отношений и булевых матриц позволяет рассматривать более широкий спектр качественных данных об объектах, чем термино­логия теории измерений. При этом определенному типу каче­ственной информации соответствует определенный класс отноше­ний. Не останавливаясь на обосновании такого выбора, в этом разделе мы введем понятие бинарного отношения, дадим краткий перечень действий (операций) над отношениями и основных свойств отношений.

6.2.1. Понятие бинарного отношения

Пусть А — некоторое конечное множество Рассмотрим множество всех пар элементов (х, у), где х и При условии, что х не совпадает с у, мы будем различать пары (х, у) и (у, х), т. е. считать элементы в парах упорядоченными. Множество всех упорядоченных пар (х, у), где обозначается Любое подмножество Р множества ­ называется бинарным отношением на множестве А. Множество А иног­да называют областью задания отношения Р. Тот факт, что пара (х, у) элементов состоит в отношении Р, будет записываться или хРу. Бинарное отношение может задаваться или непосредственным указанием пар элементов, состоящих в дан­ном отношении, или правилом, которое позволяет для каждой пары установить, находится или нет данная пара в данном отношении.

Пусть на n-элементном множестве А определено бинарное от­ношение Р. Перенумеруем элементы множества А числами от 1 до п и каждому i-му элементу поставим в соответствие i-й стол­бец и i-ю строку квадратной таблицы размером Тот факт, что для пары элементов с номерами i и j выполняется отноше­ние будем отмечать единицей на пересечении i-й строки и j-го столбца и нулем — если т. е. если отно­шение Р для элементов хi и xj не выполняется. Обозначая эле­менты построенной таким образом матрицы через правило задания отношения можно сформулировать так:

Такой способ представления бинарного отношения называется матричным. Полученная матрица называется матрицей бинарного

отношения Р. Мы будем обозначать ее или просто (Р).

6.2.2. Действия над бинарными отношениями

В этом разделе мы определим действия над бинарными от­ношениями, которые опять приводят к бинарным отношениям.

1. Пересечение отношений называется отношение, которое содержит только общие для Р и Q пары

Когда Р и Q не имеют общих пар, т. е. не пересекаются, то гово­рят, что их пересечение пусто и записывают

Пример 2.1. Пусть матрицы отношений Р и Q имеют вид (для большей наглядности нули в матрицах отношений всюду опущены.)

Тогда очевидно, что матрица отношения имеет вид

Таким образом, матрица отношенияесть булево пересечение матриц отношений Р и Q.

2. Объединением отношений называется отношение, ко­торое включает все пары, содержащиеся или в подмножестве Р или в подмножествеили Когда объединениесодержит все возможные пары из а пересечение Р и Q пусто, то говорят, что отношения Р и Q образуют разбиение а их объединение есть полное отношение.

Пример 2.2. Для отношений Р и Q из примера 2.1 очевидно имеем

Таким образом, матрица отношенияесть булева сумма матриц

отношений Р и Q.

3. Разностью отношений Р и Q называется отношение, состоящее из тех пар которые не содержатся в

и Частный случай разности двух отношений представляет собой операция взятия дополнения к отношению Р (см. ниже п. 5).

Пример 2.3. Для отношений Р и Q из примера 2.1 имеем

4. Симметрической разностью называется отношение, со­стоящее из тех пар (х, у), содержащихся в объединении которые не содержатся в пересечении Другими словами,

Пример 2.4. Для отношений Р и Q из примера 2.1 имеем

5. Дополнением называется отношение, состоящее из тех пар которые не входят в

и- Отношения Р и образуют разбиениет. е. и

Пример 2.5. Для отношения Р из примера 2.1 имеем

6. Обратным отношением Р-1 к отношению Р называется отношение, которое содержит пару (х, у) тогда и только тогда, ког­да т. е.

Пример 2.6. Для отношения Р из примера 2.1

матрица обратного отношения Р-1 является транспонированной к исходной матрице отношения Р.

7. Композицией (произведением) отношений Р и Q на­зывается отношение, которое содержит пару (х, у) тогда и только тогда, когда существует такое, что ит. е.