Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 36 )

Универсальные множества: R+, N

Функция принадлежности утверждения «величина х мала»

Универсальные множества: R+, N

Функция принадлежности утверждения «величина х большая»

Универсальные множества: R, Z

Функция принадлежности утверждения «величина |х| мала»

Универсальные множества: R, Z

Функция принадлежности утверждения «величина |х| большая»

В приведенных таблицах мы описали различные функции принадлежности, полезные для представления числовых нечетких подмножеств, соответствующих следующим нечетким утверждениям:

величина х мала (29.1) — (29.7),

величина х большая (29.8) — (29.14),

величина |х| мала (29.15) — (29.21),

величина | х| большая (29.22) — (29.28).

Для этих утверждений можно построить числовые нечеткие подмножества относительно двух переменных. Покажем, как это делается. Кроме того, в этом же разделе покажем, как анализировать и синтезировать транзитивные нечеткие отношения.

А. Цилиндрические функции принадлежности типа

μ(х, у) =f(х2 + у2)

соответствуют утверждению «х2 + у2 обладают свойством P».

Возьмем теперь кривые и функции (29.1)—(29.14) и заменим х на

ρ = .

Для (29.1)—(29.14) свойство P можно сформулировать как «величина х2 + у2 мала или х и у малы».

Для (29.8)—(29.14) свойство P можно сформулировать как «величина х2 + у2 большая или х и у большие».

Пример. Учитывая (29.6), можно видеть, что

μ(х, у) = .

Б. Гиперболические функции принадлежности типа

μ(х, у) = f(|х - у|)

или

μ(х, у) = f (|y2 - х2|)

соответствуют утверждению «|y— х| или |у2 — х2| обладают свойством P ».

Возьмем кривые и функции (29.1)—(29.14) и заменим х на

ρ = |у — х|

или

ρ = ;

для (29.1)—(29.7) свойство P можно сформулировать как

«величина y очень близка к х»,

для (29.8)—(29.14)

«(y очень отличается от х».

Для обращения свойства P в противоположное можно также

использовать ρ = |у — kх| при достаточно большом k. Замечание. Известно, что

e-u= .

Таким образом, функции

e-u и

в качестве функции принадлежности будут давать сходные результаты, когда

и = φ(х), и = φ( ), и= φ( ) и др.

Определение свойства (max — min)-транзитивности в случае

непрерывной функции принадлежности отношения.

В этом случае очень легко оценить функцию принадлежности

(х, у), если она представляет отношение, обладающее одним из следующих свойств: рефлексивностью, симметрией, антисимметрией.

Хуже обстоят дела с транзитивностью. Рассмотрим сначала (max— min)-транзитивность, а потом (max — ∙)-транзитивность (можно перейти к доказательствам относительно (min—max)-, (min—sum)- или даже обычной (min -сложение)-транзитивности).

Напомним, что (max - min)-транзитивность характеризуется

следующим свойством:

(х, z) ≥[ (х, y) (y, z)]. (1)

На рис. 1 показано, как получить правый член соотношения (1).

Рис. 1.

Если в этом примере х и z рассматриваются как параметры, то имеется единственная точка пересечения функций принадлежности (х, у) и (у, z); в других случаях таких точек может быть несколько, но каждый раз только одна из них будет определять максимум yM. В дальнейшем удобно действовать следующим образом.

1. Определяем точку yM как функцию от х и z, такую, что

(х, yM)= (yM, z).

2. Подставляем значение yM как функцию от х и z в (х, yM) или в

(yM, z), что даст функцию λ (х, z).

3. Сравниваем λ(х, z) с (х, z). Если

(х, z): (х, z)≥ λ (х, z),

то отношение транзитивно. Если же

(х, z ): (х, z)<λ(х, z),

то отношение не транзитивно.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Имеем нечеткое отношение , определенное для х R+ и

у R+:

= (2)

На рис. 2 для случаев х < z (рис. 2, а) и х> z (рис. 2, б) изображена функция (х, у) как функция от у (х принимается в качестве параметра) и (у, z) (z принимается в качестве параметра).

Рис. 2.

На этих рисунках ABCD представляет функцию (х, у) (с х в качестве параметра), a А'В'СD представляет функцию (у, z) ( z-параметр) .

В случае х < z max — min равен е-z, а в случае х > z max — min равен е-х. Поэтому можно записать

λ(х, z)=

Сравниваем λ(х, z) с функцией принадлежности (х, z), которая задается (2), где z заменяет y:

(х, z)=

В результате сравнения видим, что

(х, z)= λ(х, z), x≠ z (3)

(x, z)> λ (x, z), х = z. (4)

Следовательно, — транзитивное отношение. Заметим, что это отношение есть отношение подобия.

На рис. 3 представлено с помощью матрицы нечеткое отношение, соответствующее (2), где вместо N использовано R+.