Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 21 )

b = c а,

а ≥b c;

если с = а,

с=≥а b,

b ≥ c а,

а =b c.

2.6. Подотношение подобия в нечетком предпорядке

Пусть P P — отношение нечеткого предпорядка. Если существует обычное подмножество P1 P, такое, что

х, у P1: (х, у) = (у, х),

то элементы множества P1 находятся между собой в отношении подобия, которое мы будем называть подотношение подобия в предпорядке .

Будем говорить, что подотношение подобия максимально, если в рассмотренном отношении не существует другого отношения подобия той же природы.

Предположим теперь, что отношение предпорядка таково, что каждый из элементов подмножества универсального множества принадлежит максимальному подотношению подобия и не принадлежит никакому другому. Это можно перефразировать следующим образом: все максимальные подотношения подобия не пересекаются. В этом случае подмножества, на которых определены такие непересекающиеся максимальные подотношения подобия, будем называть классами подобия предпорядка.

Однако не все нечеткие предпорядки можно разложить на классы подобия. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На рис. 55 представлено отношение предпорядка.

Рис. 55.

Этот передпорядок не является симметричным отношением. Однако заметим, что отношение можно разложить на три подотношения: , определенное на подмножестве {А, В, С, Е, F}, — на {D} и — на {G}. Очевидно, что обычные подмножества K1 ={А, В, С, Е, F}, К2= {D}, К3 = {G} - максимальны по отношению к свойству подобия (чего нельзя сказать, например, о {В, С, F} или {А, С, Е}). Мы скажем, что отношение нечеткого предпорядка разложимо относительно K1, K2 и К3 на максимальные непересекающиеся подотношения подобия, образующие классы подобия в предупорядоченном множестве. Если мы теперь рассмотрим сильнейшие пути, которые существуют между этими классами, то увидим (рис. 56), что эти классы сами образуют транзитивное несимметричное нечеткое отношение, которое, как будет показано дальше, есть отношение нечеткого порядка.

Рис. 56.

Пример 2. На рис. 57,а представленно нечеткое отношение предпорядка.

Рис. 57.

Можно найти три подотношения подобия , и (рис. 57, б), и хотя они максимальные, но пересекаются, и, следовательно, данные подотношения не определяют классов подобия.

Приводимий нечеткий предпорядок. Нечеткий предпорядок, который раскладывается на классы подобия, будет называться приводимым нечетким предпорядком. Например, нечеткий предпорядок на рис. 55 — приводимый, а на рис. 57, а -неприводимый.

В приведенных выше примерах рассматривались конечные множества Р, но разложение на классы подобия, такие, как были только что описанны, имеет место и в случае, когда Р — бесконечное множество, счетное или нет. В этом случае как сами классы, так и их число могут быть конечными или бесконечными. Однако представление отношений с помощью матриц или графов Бержа могут использоваться только в тех случаях, когда Р — счетное множество.

Поиск максимальных [подотношений] подобия предпорядка

(Р конечное). В некоторых простых случаях, рассматривая пары элементов, которые обладают свойством симметрии, сразу получают максимальные подотношения подобия, которые могут быть как пересекающимися, так и нет. Однако всегда желательно иметь общую процедуру.

2.7. Антисимметрия

Нечеткое бинарное отношение называется антисимметричным, если

(х, у) Р×Р при х≠у:

(х, у)≠ (у,х) или (х, у)= (у,х) =0.

Пример 1. На рис. 58 —60 приведено несколько примеров антисимметричных нечетких бинарных отношений.

Рис. 58. Рис. 59.

Рис. 60.

Для отношения на рис. 58 имеем

(А, В)< (В, А),

(А, С) = (С, А)=0,

(A, D)> (D, A),

(A, E)> (E, A)

и т. д.

Пример 2. Пусть х у, где х, уR+. Тогда отношение , определяемое функцией принадлежности

(х, у)= е-(ах+by), а>b>1,

антисимметрично.

Совершенная антисимметрия. определяет антисимметрию более строго, чем в данной работе, имея при этом в виду некоторые свойства; в данном определении будем называть это совершенной антисимметрией. Совершенным антисимметричным отношением называется такое отношение ( дает другое определение: ( (х, у)>0 и (y, x)>0) (х=у)),

что (x, у) Р×Р и х≠у:

(х, у)>0 (y, x) = 0.

Позднее, при обсуждении понятия совершенного порядка, мы возвратимся к исследованию нескольких свойств совершенной антисимметрии.

Замечание. Любое совершенное антисимметричное отношение будет и антисимметричным отношением.

Пример 1. На рис. 61 представлено совершенное антисимметричное отношение.

Рис. 61.

Пример 2. Рассмотрим две области D1 и D2 в R+×R+, которые показаны на рис. 62.

Рис. 62.

Отношение х у, определенное на R+ функцией принадлежности (х, у) =

есть антисимметричное отношение.

2.8. Нечеткие отношения порядка

Нечетким отношением порядка называется бинарное отношение, которое:

1) рефлексивно;

2) транзитивно ;

3) антисимметрично

(будем также говорить простое отношение порядка, если это не приводит к недоразумению).

Можно также дать следующее определение: антисимметричное (следовательно приводимое отношение и такое, что каждый класс подобия содержит только один элемент) нечеткое отношение предпорядка называется нечетким отношением порядка.