Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 23 )

Линейная транзитивность (L = [0, М]):

(х, у) ≥ 0, (у, z) ≥0 (x, z)= (x, y) + (y, z). (74)

Ультраметрическая транзитивность:

(x, y)>0,(y, z)>0(x, y)(y, z)≥(x, z)≥(x, y)(y, z).( 75)

В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определенны для линейно упорядоченного L, хотя некоторые условия могут быть обобщенны и на случай, когда L является решеткой. Условия, при определении которых принимают участие операции сложения и умножения, используются, когда L является интервалом вещественных чисел.

Рассмотренные условия транзитивности могут использоваться как при построении моделей рациональности нечетких предпочтений в нормативной теории выбора, так и при формировании некоторой правильной структуры системы, информация о которой может быть представлена в виде нечеткого отношения порядка.

Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности равносильны условию ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности, соответственно, обыкновенного отношения 0, определяемого следующим образом:

0 (х, у)=

Аналогичные свойства могут быть определены как α-свойства для различных α-уровней (αL) отношения .

В отличие от первых трех свойств другие свойства более специфны для нечетких отношений и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества X. Для этих свойств также могут быть сформулированы α-свойства заменой в левых частях этих свойств на αL.

Условие (70) для антисимметричных отношений порядка совпадает со свойством транзитивности. Условие (71) представляется наиболее естественным условием согласованности при интерпретации отношения порядка как отношения, учитываютщего силу предпочтения в парных сравнениях альтернатив. Частным случаем сильного порядка (порядка, который удовлетворяет условию сильной транзитивности (71)) является метрический порядок (условие (72)). Условие (72) эквивалентно для ассимметричных отношений неравенству треугольника:

(x, z)≤ (x, y) + (y, z) x, y,z X.

Условие (73) определяет нечеткую квазисерию. Каждый α-уровень нечеткой квазисерии является обыкновенной квазисерией, т. е. удовлетворяет условиям:

х у, y z x z,

ху, (z y)xz; (y x), y (z) x z. (76)

Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности на каждом уровне αL. Эти разбиения вложены друг в друга; таким образом, нечеткая квазисерия определяет иерархию разбиений множества X на упорядоченные классы эквивалентности (рис. 66).

Рис. 66.

Нечеткая квазисерия : а — граф отношения; б — система разбиений на упорядоченные классы по отношению

Исходная матрица отношения приведена в табл. 1.

Таблица. 1.

Частным случаем метрических порядков, кроме квазисерии, является линейный порядок, определяемый условием (74).

Линейный порядок при интерпретации (х, у) как силы предпочтения альтернативы х над альтернативой у задает на множестве альтернатив X некоторую аддитивную функцию полезности, которая может быть определена на X, например, с помощью соотношения

f(х) = (х, у).

Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью (72), однако условие (75) не эквивалентно для антисимметричных отношений ультраметрическому неравенству:

(x, z)≤ (x, y) (y, z) х, у, z Х. (77)

Условие (77) эквивалентно для асимметричных отношений условию квазисерийности (73).

Между строгими порядками (асимметричными отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований.

Если на L задана операция дополнения, т. е. такая унарная операция ', что на L выполняются тождества

(а')' = а, (а b) = а' b', (а b)' = а' b',

то на множестве нечетких отношений может быть задана операция дополнения, которая обозначается черточкой сверху, с помощью соотношения

(x, y) = ( (x, y))' х, у Х,

и на множестве нечетких отношений F(Х×Х) будут выполняться тождества

= , (78)

. (79)

Дистрибутивная решетка, на которой задана операция дополнения, удовлетворяющая тождествам (78) и (79), называется решеткой Де Моргана.

Например, если L=[0, М], то операция дополнения может быть определена как

а'= М — а а L.

Если L является конечной цепью, т. е. элементы L могут быть линейно упорядочены: l0 ≤ l1≤ … ≤ lт, тогда операция дополнения ' на L может быть определена как