Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 35 )

Относительные обобщенные расстояния Хемминга для этих сообщений приведенные на рис. 16, представляющем матрицу отношения несходства .

Рис. 16.

На рис. 17 подсчитано (min — mах)-замыкание , т. е. . Теперь видно, что все эти сообщения являются транзитивно равноотстоящими.

Рис. 17.

Такое понимание (min — mах)-транзитивного расстояния может показаться неприемлемым в числовых приложениях. Но относительное обобщенное расстояние Хемминга транзитивно для обычной (min— sum)-операции, т. е.

δ (х, z)≤MIN [δ (х, у) + δ(y, z)], (4)

в

а так как δ (х, z) — это расстояние, то

у:δ (х, z)≤ δ (х, у) + δ(y, z).

К тем же выводам приводит рассмотрение относительного евклидова расстояния.

Таким образом, каждое отношение , которое задает относительное обобщенное расстояние Хемминга (или относительное евклидово расстояние), есть отношение, которое совпадает со своим собственным обычным (min — sum)-транзитивным замыканием. Заметим, что правая часть (4) может принять значение больше 1, так как здесь выполняется обычное сложение, но это ничего не меняет, поскольку член слева по построению всегда принадлежит [0,1].

Как будет показано ниже, разложение по уровням относительно значений, которые содержатся в отношении несходства, дальше будет давать не классы эквивалентности, а максимальные подотношения.

Обычное (min—sum)-различие. Декомпозиция на максимальные подотношения. Отношение (4) можно рассматривать как отношение различия, которое можно назвать обычным (min — sum)-различием.

Рис. 18.

Как видно в примере на рис. 18, для расстояний d≤k (k произвольное) не получаются обычные графы, подграфы которых устанавливают классы эквивалентности. Иногда можно использовать менее строгое понятие, довольно важное при различных операциях — понятие максимальных подотношений, которые могут быть как обычными, так и непересекающимися.

Обратимся к рис. 18 и рассмотрим более подробно обычный симметричный граф, соответствующий d≤0,42. На рис. 19 мы изобразили этот обычный граф и выделили три максимальных подотношения или полных обычных графа, каждый из которых устанавливает отношение эквивалентности.

Рис. 19

Для каждого из этих подотношений расстояние каждого элемента до другого меньше или равно 0,42 и свойство (4) подтверждается. В общем случае такое разложение нельзя сделать без соответствующего алгоритма.

Замечание. Обычное (min—sum)-различие недвойственно обычному (max —∙)-подобию. Двойственным к первому из этих отношений и будет алгебраическое (min—sum)-различие.

Рассмотрим пример, в котором появляются максимальные подотношения.

Пример. Разложим отношение различия, которое задано на рис. 13,а (см. декомпозицию на рис. 18).

Наконец, можно также использовать алгебраическую

(аb=a+b—ab) (min — sum)-транзитивность для того, чтобы получить разложение на максимальные подотношения.

Сравнивая рис. 14 и 18, можно увидеть преимущества и недостатки использования (min — mах)-транзитивности, с одной стороны, и (min — sum)-транзитивности — с другой. Первая дает классы эквивалентности, которые появляются последовательно в зависимости от величины α, интерпретация которой очень спорна. Вторая транзитивность дает только максимальные подотношения, в общем случае непересекающиеся; однако ее интерпретация бесспорна, особенно когда речь идет о приложениях в области классификации структур.

2.14. Некоторые свойства нечетких отношений совершенного порядка

Теорема о декомпозициях для нечеткого отношения совершенного порядка. Пусть есть нечеткое отношение совершенного порядка в Е × Е. Отношение можно разложить в виде

= α∙Rα , 0< α ≤ 1, (1)

при α1 ≥ α 2 ,

где Rα — отношение порядка в смысле теории обычных множеств и α∙Rα обозначает произведение всех элементов Rα на величину α.

Доказательство. Рефлексивность и транзитивность Rα доказывется так же, как и ранее. Покажем, что свойство совершенной антисимметрии также выполняется.

Чтобы показать, что Rα антисимметрично, сначала заметим, что поскольку рефлексивно, то определение

(х, у) > 0 (у, х) = 0

можно заменить

( (х, у) > 0 и (у, х) >0) (х=у).

Антисимметричность будем доказывать методом от противного. Предположим, что (х, у) Rα и (у, х) Rα. Тогда (х, у)≥α и (у, х) ≥α и в силу антисимметрии :х=у. Теперь, наоборот, предположим, что (х, у)=α> 0 и (у, х) =β≥ 0. Положим γ = α≥β. Тогда (х, у) Rγ и (у, х) Rγ и из антисимметрии Rγ следует, что х=у. Значит, при сделанном предположении невозможно получить х ≠ у.

Пример 1. На рис. 1 представленна декомпозиция нечеткого

отношение совершенного порядка.

Рис. 1.

Для большей наглядности результатов мы опустили нули. Под каждым Rα расположили эскиз обычного антисимметричного графа.

Пример 2. На рис. 2 показано, как происходит синтез отношения совершенного порядка.

Рис. 2.

Расширение декомпозиционного свойства на случай приводимого предпорядка, классы подобия которого совершенно упорядочены.

Свойства (1) совпадают всегда, когда рассматривается приводимий предпорядок, классы подобия которого устанавливают совершенный порядок.

Пример. На рис. 3 приводится пример такой декомпозиции.

Рис. 3.

На рисунке для большей наглядности опущены нули. С другой стороны, выделены числовые элементы и классы подобия, свойства которых легко определить.

Пример синтеза см. на рис. 4.

Рис. 4.

На рис. 5 показана блочно-треугольная форма предпорядка.

Рис. 5.

Подведем итог, составив табл. 1, отражающую все случаи, соответствующие теме этого раздела.

Таблица 1

Свойства основных нечетких отношений

Отно- шения	Свойства
Рефле- ксив- ность	Анти- рефле- ксив- ность	(max- min)- тран- зитив- ность	(min - max)- тран- зитив- ность	Симме- трич- ность	Анти- симме- трич- ность	Сответст- вующий граф не имеет контуров, кроме петель
Пред- порядок Подобие Различие Сходство Неходство Поряд- ковое Нестро- гий по- рядок Стро- гий по- рядок	+ + + + +	+ + +	+ + + +	+	+ + + +	+ + +	+ + +

2.15. Обзор простейших функций принадлежности