Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 83 )

Тогда по лемме 11.4 Согласно (11.23) имеем откуда [а] = [b] в силу линейности нечеткого отношения L. Согласно лемме 11.1 отсюда сле­дует, что

Обратно, пусть I — четкое отношение. Предположим, что

Тогда в силу (11.23) и, следовательно, Отсюда [а] = [b], что завершает доказательство.

Нечеткие квазипорядки, для которых L является линейным нечетким порядком, естественно называть линейными нечеткими квазипорядками. Следующая теорема дает описание линейных не­четких квазипорядков как прообразов линейных нечетких порядков.

Теорема 11.6.

1) Пусть — четкое отображение и L — рефлексивный линейный нечеткий порядок на Y. Тогда прообраз нечеткого отношения L является линейным нечетким квазипорядком на X.

2) Каждый линейный нечеткий квазипорядок на X есть про­образ некоторого рефлексивного линейного нечеткого порядка от­носительно подходящего четкого отображения.

Доказательство.

1) Пусть — прообраз нечеткого отношения L. Представим в виде где L — антирефлексивный ли­нейный нечеткий порядок на— четкая диагональ на Y.

Так как f — четкое отображение, то

(11.24)

По определению и в силу антисимметричности L имеем

откуда и является четким отношением.

Далее, в силу (11.24)

Отсюда непосредственно следует, что

Проверим выполнение свойств (Т) и PI). Имеем

Далее,

так как

Итак, мы доказали, что R является линейным нечетким квази­порядком на X.

2) Пусть R — нечеткий линейный квазипорядок на X и L — образ нечеткого отношения Р при каноническом отображении п. Пустьгде ∆ — четкая диагональ на

Имеем

что и требовалось доказать.

Доказанная теорема является обобщением на нечеткие отно­шения известной зависимости между линейными квазипорядками и оценками на множестве X. Множество Y из теоремы 11.6 можно рассматривать как множество значений оценок (функ­ций на X), а отображение f — как «скалярный критерий». Однако, в отличие от четкого случая теорема позволяет более тонко различать предпочтения, возникающие из оценок.

Рассмотрим следующий пример. Пусть на множестве из четы­рех элементов заданы две числовые оценки: (2, 3, 3, 100) и (0,9, 1,1, 1,9, 1,9). Эти две оценки порождают одинаковые четкие ли­нейные квазипорядки с матрицей

Для описания очевидного количественного различия между предпочтениями, заданными выше оценками, воспользуемся нечет­ким подходом. Определим на множестве действительных чисел R нечеткий линейный рефлексивный порядок например, формулой

Легко видеть, что согласовано с естественным порядком на R в том смысле, что содержится в этом порядке. Вычисления (с двумя знаками) дают следующие матрицы нечетких предпочтений, соответствующих заданным оценкам:

Эти нечеткие отношения очевидным образом отражают различие между двумя заданными предпочтениями.

Таким образом, в настоящем разделе описаны и исследованы структура нечетких бинарных отношений безразличия и предпо­чтения. С точки зрения проблемы группового выбора этими отно­шениями представляются индивидуальные мнения экспертов. Ис­пользуя общий подход, развитый в предыдущих разделах для чет­ких отношений, мы в дальнейшем обратимся к изучению совокуп­ностей нечетких бинарных отношений, которые также будут на­зываться пространствами нечетких бинарных отношений.

12. Пространства нечетких бинарных отношений.

Как уже отмечалось в разделе 7, при рассмотрении общей теории геометрических структур выпуклых множеств в пространствах обычных бинарных отношений предпочтения в практических за­дачах используются не произвольные отношения предпочтения (четкие или нечеткие), а предпочтения, на которые налагаются дополнительные ограничения. Ограничения эти обычно диктуются особенностями задачи, а также желанием работать с предпочте­ниями, удовлетворяющими требованиям, естественным с точки зрения лиц, проводящих экспертизу. Такими естественными огра­ничениями являются, например, условия транзитивности и реф­лексивности (или антирефлексивности). Особенности задачи могут привести исследователя к рассмотрению, например, только линей­ных нечетких отношений или отношений, все функции принад­лежности которых принимают только значения 0 и 1, т. е. чет­ких бинарных отношений.

12.1. Структуры пространств нечетких бинарных отношений

Для того, чтобы не связывать себя пока никаким конкретным типом отношений, мы ограничимся следующим определением по­нятия «пространство нечетких бинарных отношений» (Под «нечетким предпочтением» мы теперь будем подразумевать про­извольное нечеткое бинарное отношение.).

Определение 12.1. Пространством нечетких бинарных отноше­ний () над множеством А называется произвольное подмно­жество множества всех нечетких бинарных отношений на А.

Заметим сразу, что в ограничения, упомянутые в определении, может входить условие, что функции принадлежности принимают значения 0 и 1. Тем самым пространства четких предпочтений становятся частным случаем пространства нечетких предпочтений.

Несмотря на некоторую расплывчатость определения 12.1 (нет строгого определения системы ограничений), мы можем добиться

определенных результатов и в этом случае, если будем рассматри­вать все пространства нечетких предпочтений просто как некоторые совокупности нечетких предпочтений.

Следующие примеры дают представления о возможных прост­ранствах нечетких предпочтений.

Пример 12.1. Пространствовсех строгих отношений частичного порядка на множестве А. Оно является множеством всех функций на удовлетворяющих условиям

Далее будет рассмотрена другая модель для

Пример 12.2. Пространство квазитранзитивных отношений на

множестве А. Если Р, как обычно, обозначает строгое предпочтение для R, тосостоит из всех функций на А таких, что

Пример 12.3. Пространство всех нечетких бинарных отношений на множестве А мощности п. Очевидно, что есть множество всех функ-ций удовлетворяющих условиюТаким образом, естественно изоморфно множеству точек единичного куба в n2-мерном линейном пространстве.