Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 86 )

Индуктивно построим линейные сегменты положив и

и, далее,

Очевидно, что каждый линейный сегмент однознач-

но определяется точками и объединение где s — число занумерованных пар (х, у), является линейным сегментом от R' к R".

Аналогично строится линейный сегмент от R к R". Легко проверяется, что объединение есть линейный

сегмент между R' и R".

Как будет показано ниже, пространство нечетких частичных порядков также является полным пространством, пространство же нечетких эквивалентностей не является полным.

Точки Р и Q пространстватакие, что есть одноэле-

ментное нечеткое множество, будем называть соседними в про­странствеПоследовательность соседних точек в сегменте существование которой постулируется для полного пространствабудем называть основой линейного сег­мента

Рассмотрим линейный сегмент между последова-

тельными точками основы линейного сегмента Пусть

Легко видеть, что функции принадлежности всех точек R из совпадают везде кроме точки (а, b). При этомОтсюда следует, что линейный сегмент определяется однозначно соседними точками

В дальнейших построениях мы будем пользоваться в полном пространстветолько линейными сегментами, имеющими основу. Как следует из вышеизложенного, такие линейные сегменты полностью определяются своими основами.

Лемма 12.4. Для любого множества точек X полного простран­ства справедливо включение

Доказательство. Предположим, что найдется точка такая, что Выберем произвольно точку

и рассмотрим линейный сегмент с множеством вершин

Такой линейный сегмент существует в силу полноты пространства Из нашего предположения следует, что существует k такое, что все Ri с i<k принадле­жатТак как точки — соседние, то

для некоторой пары Рассмотрим два случая.

Так как (в силу следствия из теоремы 12.2), то

Отсюда Но откуда Далее, из следует, что Возможны два случая. Либо существует, и тогда либо В обоих случаяхг очевидно, существует такое, что откуда

Далееиз следует, что откуда

Из следует, что откуда, с очевидностью, для всех (х, у). Другими словами,

Таким образом, мы получили, что Но откуда Полученное противоречие заканчивает рассмотрение первого случая.

Из того, что имеем откуда

Поскольку δ<0, то Из того же, что следует, что

Рассмотрим два случая. Либосуществует и тогда

либо В обоих слу­чаях получается, что найдется такое, что откуда Далее, из сле­дует, что откуда Из следует, то для всех (х, у), т. е.