Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 70 )

А1. Аддитивность:

А2. Нормировка: для любых двух соседних точек Р и Q

Замечание. В то время как условие А1 носит «универ­сальный» характер и используется при определении функции близости во всех пространствах, условие А2 может видоизме­няться в зависимости от конкретного вида пространства. В том виде, как это условие представлено в определении 9.1, оно пригодно для всех полных пространств и, например, для прост­ранств (см. диаграмму 6.5).

Нашей ближайшей задачей будет установление существова­ния и единственности функции близости, определенной усло­виями А1 и А2, для полных пространств бинарных отношений. Сначала установим, что в любом пространстве бинарных отно­шений справедлива

Лемма 9.1. Если функция близости существует, то она опре­деляется условиями А1 и А2 однозначно для любого пространст­ва бинарных отношений

Доказательство. Пусть Согласно теореме 7.1 существует линейный сегмент между Р и Q:

Из условия А2 непосредственно выводим, что

Согласно условию А2 отсюда следует так как

— соседние точки в пространстве для всех i. Если же Р = Q, то из А1 получаем, что

Следствие 9.1. Если функция δ существует, то она удовлет­воряет также условиям

A3. Симметрия:

А4. Неотрицательность:

Наше предположение о существовании функции близости, ко­нечно, было существенным при доказательстве вышеуказанных свойств. Рассмотрим фрагмент пространствадля трех объектов

Очевидно, что последовательность является ли-

нейным сегментом. Нотакже есть линейный сегмент.

Так как 4 ≠ 2, то мы делаем вывод, что в пространствене

существует функции δ, удовлетворяющей условиям А1 и А2. Здесь дело в том, что, как мы уже указывали выше, формули­ровка условия А2 выбирается в зависимости от конкретного пространства бинарных отношений.

Теперь установим существование функции близости, удовлет­воряющей условиям А1 и А2, в полных пространствах бинарных отношений. С этой целью напомним сначала читателю определе­ние расстояния Хемминга между булевыми матрицами. Пусть

— две булевы матрицы размера Расстояние Хемминга между ними определяется формулой

(9.1)

Расстояние Хемминга удовлетворяет всем обычным свойствам геометрического расстояния.

Так как каждое бинарное отношение определяет булеву мат­рицу (см. 5.1), то можно считать, что на любом пространстве бинарных отношений существует метрикаопределяемая формулой

(9.2)

где р и q — булевы матрицы отношений Р и Q.

Лемма 9.2. В полном пространстве бинарных отношений функция удовлетворяет условиям А1 и А2.

Доказательство. Пусть т. е.

(9.3)

Переходя к булевым матрицам отношений, перепишем 9.3 в виде

(9.4)

где— матрицы отношений Р, Q и R соответственно. Имеем в силу (9.1), (9.2)

Тем самым установлено, что А1 выполняется.

Пусть теперь Р и Q — соседние точки. Так как пространство полно, отсюда следует, что симметрическая разностьесть

одноэлементное множество. В терминах матриц би-

нарных отношений Р и Q это означает, что различа-

ются ровно одним элементом, т. е. для всех i и j, кроме одной пары, Из (9.1) и (9.2) получаем

что и требовалось доказать.

Из доказанного выше следует, что справедлива следующая

Теорема 9.1. На любом полном пространстве существует единственная функция близости удовлетворяющая ус-

ловиям А1 и А2. Эта функция совпадает с расстоянием Хемминга между матрицами бинарных отношений из пространства

где — матрицы отношений Р и Q.

9.2. Пространства и

В этом параграфе мы довольно подробно рассмотрим структу­ру пространства и изоморфного ему пространства— пространств, которые нам в этой работе еще не встречались. Эти пространства (вместе с тривиальпым пространством образуют «первый этаж» диаграммы 6.5. Сначала мы рассмотрим выпук­лые структуры, а завершим параграф изучением структур бли­зости и метрики в пространстве

Напомним определение пространства

Определение 9.2. Пространство бинарных отношений назы­вается пространством совершенных строгих порядков если каждая его точка L есть бинарное отношение совершенного строгого порядка, т. е. удовлетворяет условиям

1. Антирефлексивность:

2. Транзитивность:

3. Связность: для любых х и у либо _ либо

Отношения совершенного строгого порядка, или, как еще го­ворят, отношения строгого линейного порядка на конечном мно­жестве А из п элементов, обладают довольно простой структу­рой. Так как, очевидно, каждое отношение L строгого линейного порядка на А есть в то же самое время отношение строгого частичного порядка, то в силу теоремы Шпильрайна на А су­ществует нумерация согласованная с L. Учи­тывая свойство связности строгого линейного порядка, получаем следующее утверждение.

Лемма 9.3. Для любого линейного порядка L на конечном множестве А существует нумерация такая, что

Очевидно, что предыдущая лемма устанавливает взаимноодно­значное соответствие между точками пространстваи раз­личными нумерациями множества А. Фиксируя какую-либо ну­мерацию мы видим, что любая другая нумера­ция получается в результате некоторой перестановки элементов множества А. Поэтому число различных точек пространства равно п!.