Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 47 )

Теорема 3. Пусть Тогда Р — нечеткий частичный

порядок, если S — нечеткий линейный порядок, a F — четкое ото­бражение.

Доказательство. Имеем

Пусть

т. е.

Так как S — нечеткий линей­ных порядок, то отсюда следует, что Обрат­но, из предыдущего условия следует, что

Таким образом, условие равносильно

условию Покажем, что Р транзитивно, т. е.

чтодля любых

Очевидно, что достаточно рассмотреть случай μР(x1, x2) >0 и μР(x2, x3) >0. Но тогда

(3)

Предположим, что Тогда

и Но в силу μР(x1, x2) >0 имеем μs(F(x1),

F(x2))>0 и, аналогично, откуда μs(F(x1),

F(x3))>0. Так как S есть нечеткий линейный порядок, то F(x1) = F(x3). ИмеемF(x2)), что противоречит линейности S. Полученное противоречие показывает, что т. е. Возвращаясь к (3), получаем доказываемую транзитивность.

Итак, рассмотрен закон взаимодействия (2) для двух типов отношений S — четких и нечетких линейных порядков. Отметим, что в случае, когда S есть «отношение равенства» на эталонах, задача построения отношения R сводится к задаче кластерного анализа.

4.5. Выбор на основе отношения

В этом разделе будет предложен подход к решению проблемы выбора подмножеств «наилучших» альтернатив из заданного мно­жества X альтернатив, подлежащих оценке. Ранее было показано, как на основе закона взаимодействия на множестве X мо­жет быть построено нечеткое отношение предпочтения R. Значе­ние μR(х, у) функции принадлежности этого отношения интер­претировалось как «степень предпочтительности» альтернативы х альтернативе у. Так как исходное предпочтение R есть нечеткое отношение, то естественно полагать, что и подмножество «наи­лучших» относительно R альтернатив окажется нечетким множе­ством в X. Предлагаем следующее.

Определение 3. Подмножеством наилучших относительно пред­почтения R альтернатив из множества X называется нечеткое под­множество В (R) с функцией принадлежности

(4)

В качестве обоснования для такого определения можно привести следующие соображения. Пусть R — четкое отношение линейного квазипорядка. Известно, что относительно R множество распа­дается на классы попарно неразличимых элементов, причем сами классы отношением R уже линейно упорядочены. В этом случае применение формулы (4) к R выделяет класс наилучших альтер­натив относительно R. Таким образом, формулу (4) можно рас­сматривать как обобщение на произвольные нечеткие предпочте­ния такого понятия, как «класс наилучших альтернатив относи­тельно линейного квазипорядка».

Вообще говоря, если на R не накладывать никаких ограниче­ний, то множество B(R) наилучших альтернатив, определяемое формулой (4), может оказаться пустым, и мы будем не в состоя­нии произвести выбор в X. Поэтому желательно иметь критерий, который на основе свойств предпочтения R гарантировал бы воз­можность выбора. Оказывается, что предпочтения R, возникаю­щие на основе предложенной ранее схемы, всегда имеют непустое подмножество наилучших альтернатив B(R). Точнее, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть нечеткое предпочтение R таково, что соответ­ствующее строгое предпочтение Р транзитивно. Тогда

Доказательство. Предположим противное. Тогда

(5)

Выберем произвольно x0X. Согласно (5) найдется значение x1X, такое, что μR(х0, x1)=0. Поскольку R — линейное отноше­ние, то, по определению отношения Р, имеем μP(x1, х2)>0. Ана­логично для х1 найдется значение х2, такое, что и μP(x2, х1)>0. Продолжая этот процесс, построим последователь­ность {хі} элементов множества X, такую, что

Так как множество X конечно, то для некоторых k и п, таких, что k<n, имеем В силу

транзитивности Р имеем

Полученное противоречие завершает доказательство.

Доказанный результат, а также теоремы 1—3 показывают, что применение формулы (4) для построения нечеткого подмножества «наилучших» альтернатив всегда дает непустое множество, если в качестве предпочтения R используются отношения, образующие­ся из предложенной общей схемы.

Формулу (4) несложно обобщить и на случай, когда выбор производится не из всего множества X, а из некоторого его (воз­можно, нечеткого) непустого подмножества А. Тогда множество В(R) определяется функцией принадлежности

Легко показать, что теорема 4 остается

справедливой и в этом случае.

4.6. Вопросы практического применения эталонного подхода

В организации экспертизы по описанной в п. 4.2 общей схеме можно выделить следующие три последовательных этапа и воз­никающие при этом вопросы.

I этап:

а) формирование множества эталонов Y,

б) назначение или экспертное определение на Y соответствую­щей структуры, т. е. определение эталонного отношения S.

II этап:

а) выбор типа отношения F: нормированное или ненормирован­ное, четкое или нечеткое,

б) выбор способа оценки F: с помощью экспертов или «техни­ческими» средствами.

III этап:

а) определение на X отношения R, индуцированного отноше­нием S,

б) построение решающего правила.

Несмотря на то, что в ходе экспертизы перечисленные по эта­пам вопросы возникают именно в такой последовательности, эти вопросы взаимосвязаны и должны разрешаться комплексно. Здесь будут рассмотрены вопросы, возникающие на первых двух этапах и проиллюстрирована техника расчетов по приведенной схеме.

Происхождение объектов, принимаемых за эталоны, должно определяться спецификой решаемой задачи, и поэтому само по­нятие эталона — относительное. Однако и на общем уровне рассмотрения можно указать некоторые общие приемы их вы­бора. Например, при экспертизе промышленных или потребитель­ских товаров в качеств эталонов можно выбирать два или три образца, один — признанный на уровне мировых стандартов, второй — «средний» по своим показателям, и третий — брако­ванный образец. Другими словами, здесь эталоны могут выби­раться или назначаться извне и ни один из них может не при­надлежать множеству X рассматриваемых объектов.

В другом случае эталоны могут выбираться из числа подле­жащих оценке объектов. Для этого можно провести предвари­тельную экспертизу с целью выделения, например, наилучшего, наихудшего и промежуточного между ними объектов при условии высокой согласованности экспертных суждений об этих объектах. Эталоны могут выбираться также исходя из условий, что они являются наиболее яркими носителями ценных или существенных для целей экспертизы признаков (свойств). В этом случае эта­лоны реализуют некоторый предикат, который экспертам пред­ставляется очевидным. Таким образом, в практических ситуациях отношение S может назначаться организаторами экспертизы или определяться с помощью дополнительной экспертизы.