Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 92 )

Итак, из следует Р = Q.

2. Сохранение порядка. Пусть имеем т. е.

Предположим сначала, что для некоторой пары (х, у). Тогда и и Имеем

так как Если

и в силу предыдущего откуда, поль зуясь антисимметричностью имеем

Итак, изQ следует

Пусть теперь, наоборот, Тогда Пусть

(x, у) такая пара, что Тогда откуда Если же то и

Итак, изследует

3. Сохранение отношения «между». Пусть т. е.

Если (x, у) такая пара, что то откуда

и Отсюда очевидно, что

Если то пусть, например, Имеем

так как

Итак, для всех пар (х, у). В частности, откуда или

Итак, из следует, что

Пусть теперь т. е. Пусть также (x, у) такая пара, что Тогда Далее, очевидно, что

Функция является неубывающей функцией аргумента v. Поэтому откуда

Случай рассматривается аналогично и приводит к той же системе неравенств. Итак, из следует

4. Сохранение расстояний. Пусть а —

соответствующие точки в Согласно формуле (13.1) имеем

Следующее равенство легко проверяется перебором возможных случаев:

Суммируя по всем парам (х, y), получаем откуда

Доказательство теоремы 14.1 закончено.

Из наших построений видно, что образ пространства при вложении Ф является на самом деле собственным подмножеством куба Е пространства определяемого условием

Образ пространства при вложении Ф будем обозначать и называть моделью пространства

Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 14.1. Пусть А — множество, состоящее из двух эле­ментов. Тогда пространство состоит из антисимметричных 2 × 2-матриц вида

Тем самым оно изоморфно действительной прямой. Каждый не­четкий частичный порядок при отображении Ф пере­ходит в точку отрезка [—1, 1] (рис. 14.1).

Pис. 14.1

Пусть Р и Q — частичные порядки из примера 13.1 (см.

рис. 14.1). На рис. 14.1 этим частичным порядкам соответствуют

точки с x=1 и x = —1.

Фактически, отображение Ф, заданное формулой (14.1), опре­деляет для любого нечеткого отношения его образ в пространстве При таком расширении отображения Ф оно перестает быть, вообще говоря, взаимнооднозначным. В дальней­шем для нас будет особенно удобно то обстоятельство, что среди прообразов точки всегда существует единственное анти­рефлексивное и антисимметричное отношение, определяемое функцией принадлежности

Действительно, пусть отношение Р имеет функцию принад­лежности, удовлетворяющую условиям антисимметричности и со­отношению 14.1. Рассмотрим следующие случаи:

Тогдаи в силу условия