Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 40 )

Поскольку мы хотим построить числовое представление φ на действительной прямой, а для действительных чисел аксиома А5 выполнена (т. е. для любых данных таких, что

существует целое число п, такое, при котором выполняется усло­вие то нужно, чтобы А5 была истинной для эмпирической системы А так как трудно себе представить субъек­та, который любое приращение свойства * от одной точки в в

до другой рассматривал бы как бесконечно большее, чем любое другое нулевое приращение, то представляется разумным предпо­ложить, что аксиома А5 справедлива для системы

Очевидно, что А4 — структурное предположение, которое будет выполнено, если Θ достаточно плотное множество для того, чтобы при заданных θ1, θ3, θ4 можно было найти значение θ′4 такое, что будем предполагать, что Θ достаточно плотное множество и аксиома А4 удовлетворяется непосредст­венно. Такое множество называется «порядкаво-плотным» и его примером служит множество Θ = {люди различного роста }. Нуж­но заметить, что любая эмпирическая область Θ может быть представлена с помощью некоторой числовой области Например [(см. рис. 1), где использовали. (метр)], всякий раз, когда Θ — порядково-плотное множество, как в данном примере с Θ = {люди различного роста}, множество Х(Θ) будет непрерывным. (Случаи, когда Θ не порядково-плотное множест­во, и, значит, не непрерывное, а дискретное множество, как и случаи многомерной области., необходимо исследовать). Если субъективные ощущения свойства относящегося к порядково-плотной области Θ, удовлетворяют ак­сиомам А1—А5, то имеет место следующее числовое представле­ние принадлежности.

Теорема о представлении 2. Пусть Θ — порядково-плотное множество,— разностно-сравнимая, ограниченная система многозначной принадлежности, такая, что — алгебраическая разностная структура. Тогда существует ограничен­ная действительная функция определенная на Θ, и такая, что для всех

(6)

(7)

Заметим, что слабый порядок неявно содержится в слабом

порядкеДействительно, если то из уравнения (7) следует

и, значит, что в оилу определения (6) означает

Итак, любая кривая на рис. 1 допустима для ограниченной структуры многозначной принадлежности но только одна из них допустима для разностно-сравнимой ограниченной струк­туры многозначной принадлежности Это объясня­ется тем, что все эти кривые согласованы с бинарным отношени­ем порядка в Θ, но только одна удовлетворяет четверке ал­гебраических соотношений на Θ, задающих отношение

Построив представление системыс помощью гомоморфной ей числовой структуры перейдем к вопросу

о единственности такого представления

Теорема единственности 2. (Имеется в виду единственность представления в интервальной шкале, т. е. с точностью до линейного преобразования.) Если — еще одна функция, удовлетворяющая уравнениям (6) и (7), то

(8)

т. е.определена на шкале интервалов.

Таким образом, числовое представлениеединственно с

точностью до положительного линейного преобразования. Это оз­начает, что числовое представление включает две константы: про­извольный нуль и произвольный масштаб. Поэтому любому эле­менту в Θ можно приписать значение принадлежности 0,00 и лю­бому другому — значение 1,00. Любому элементу можно присвоить произвольное значение ВL и любому элементу — произвольное значение BU. Однако если однаж­ды эти два значения BL и ВU выбраны, то значения принадлеж­ности всех остальных элементов в Θ полностью определяются эти­ми границами. Более детально смысл этого свойства интерваль­ной шкалы принадлежности будет рассмотрен в разд. 3.1.3.

3.1.3. О силе шкалы

3.1.3.1. Сравнение шкалы отношений со шкалой интервалов

Уже показано, как можно построить числовое представление принадлежности на шкале интервалов. Имея в виду такую шкалу (еще один пример такой шкалы доставляет физическая величина «температура»), имеет смысл говорить об отношении разностей значений принадлежности двух точек из Θ, но не об отношении самих значений принадлежности. Как следует из теоремы един­ственности 2, это оправдано тем, что первое отношение инвариант­но к положительным линейным преобразованиям:

в то время как для отношения значений функции принадлежности это не так. Действительно,

(9)

в то время как

(10)

Чтобы соотношение (10) выполнялась со знаком равенства и, тем самым, принадлежность измерялась в шкале отношений, необхо­димо выполнение равенства с2=0; а тогда множество допустимых преобразований, с точностью до которых определяется единствен­ность числового соответствия, оказывается множеством преобразо­ваний подобия. Множество преобразований подобия будет запи­сываться в виде

где запись обозначает «множество допустимых преобразова-

ний» функции аргумента, a τRS — мнемоническое обозначение для «множества допустимых преобразований шкалы отношений». Однако из вывода теоремы единственности 2 следует, что

где τIS — мнемоническое обозначение для «множества допусти­мых преобразований шкалы интервалов».

Теперь если в уравнении (9) положить θ1= θ4 = θ min, то для

того чтобы свести к необходимо при-

нять и таким образам уменьшить числю произ-

вольных констант в числовом представлении до одной (т. е.

Заметим, что Это включение отражает только тот факт, что класс преобразований, которые сохраняют неизменны­ми отношения значений функции, меньше классов преобразований, которые сохраняют неизменными отношения разностей значений. Таким образам, числовое соответствии в шкале отношений более уникально, чем в шкале интервалов в том смысле, что в первом случае эквивалентные (т. е. сохраняющие эмпирические отноше­ния в Θ по числовые представления получаются с помощью класса преобразований, составляющих подмножество класса до­пустимых преобразований шкалы интервалов. Для функции, из­меряемой в шкале отношений для всех эквивалентных числовых представлений, полученных с использованием τRS, значение нуля всегда присваивается одному и тому же классу эквивалентности, тогда как для функции, измеряемой в шкале интервалов, назна­чения числового значения любому классу эквивалентности всегда произвольно.