Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 94 )

( )-транзитивность

( )-транзитивность

(∆)-транзитивность

Наиболее интересными свойствами обладает ( )-транзитивное отношение сходства S, которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или отношением подобия. Нетрудно показать, что любой α-уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов X на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности α-уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества X, соответствующих различным α-уровням, причем с уменьшением α происходит укрупнение классов эквивалентности α-уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества X на непересекающиеся классы эквивалентности.

Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества X на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности. В случае, когда L=[0, 1], отношение сходства S транзитивно тогда и только тогда, если для любых из трех чисел , по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида.

Oтношением различия D называется симметричное и антирефлексивное нечеткое отношение. Отношение различия двойственно отношению сходства. В случае, когда L=[0, 1], эти отношения могут быть получены друг из друга с помощью соотношения:

что можно записать в алгебраической форме как .

Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее следующему неравенству:

Очевидно, что это условие двойственно условию ()-транзитивности. Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств меры различия между объектами, определяющих естественное представление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории нечетких отношений это представление получило естественное объяснение.

Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:

От метрики обычно требуют выполнения условия сильной антирефлексивности. Метрика, удовлетворяющая лишь простому условию антирефлексивности, называется псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике является (∆)-транзитивное отношение сходства.

Двойственным условию ( )-транзитивности является следующее условие:

Задачи нечеткой классификации

Пусть имеется набор X фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть — функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий x и y значение есть субъективная оценка человеком степени сходства x и y. Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.

Заметим, что нечеткое отношение обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для вводится n-шаговое отношение следующим образом:

Это отношение является n-арной композицией исходного "экспериментального" отношения и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых выполняется цепочка неравенств

из которой следует, в частности, что для любых последовательность имеет предел при k→∞. Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством

Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений и следующим образом используется для классификации.

Для произвольного числа λ (0< λ <1) вводится обычное (не нечеткое) отношение Rλ:

Нетрудно показать, что для любого λ (0< λ <1) Rλ есть отношение эквивалентности в X, т. е. для любых выполняются обычные аксиомы эквивалентности

(1) — рефлексивность,

(2) — симметричность,

(3)— транзитивность.

Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение обладает свойством нечеткой транзитивности

Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества X на классы эквивалентности по полученному отношению Rλ.

Выбор величины порога λ в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину λ выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению Rλ.

Порядки и слабые порядки

Антисимметричное, транзитивное нечеткое отношение P называется отношением упорядочения или порядком. Мы будем рассматривать только строгие порядки, т. е. порядки, для которых выполняется свойство антирефлексивности. Свойства нестрогих (рефлексивных) порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.

Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка P, наиболее жесткие требования — условия линейной транзитивности и условие квазисерийности.

Если для отношения сходства условие транзитивности обычно записывают в виде и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношения порядка условие транзитивности нечеткого отношения удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков: