Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 52 )

(в смысле (2)). Тогда неравенство

(15)

выражает тот факт, что согласованность Yi и Yj больше или рав­на согласованности Хi и Хj. Согласованностью двух нечетких множеств оценивается степень возможности, с которой две пере­менные, априорные значения которых ограничены этими множе­ствами, принимают одно и то же значение. Неравенство (15) превращается в равенство, когда f взаимно-однозначная функция. Это согласуется с тем, что обратное неравенство (интерпретируе­мое как «чем ближе Yi и Yj, тем ближе должны быть Хi и Хj») реализует некоторый тип грубого условия инъективности.

Если неравенство (15) не выполняется, то либо пары (Xі, Yі) и (Xj, Yj) противоречивы, либо f — разрывная функция. Можно показать, что неравенство остается справедливым, если

Если и данные непротиворечивы, то как не-

обходимое следствие получается

Пара (Xj, Yj) дает избыточную информацию относительно (Xі, Yі), и к тому же эта информация менее точная. Однако Хі, воз­можно, необходимо для того, чтобы обеспечить хорошее покры­тие Множество Xj окажется действительно излишним, если множества

образуют достаточно хорошее покрытие области

Величинойоценивает­ся степень пустоты пересечения Ее можно рассматривать как степень включения Хі в Хj. Если то можно показать, что Величина

оценивает, до какой степени можно считать, что су­ществует Xk, содержащее другие Хі.

Таким образом, во избежание избыточности можно потребо­вать, чтобы были близ­ки к 1.

Наконец, если носитель некоторого Yi слишком велик, то ин­формация становится слишком неточной и для того, чтобы сде­лать локально точным поведение предмета спецификации, удоб­но заменить Хі на семейство подмножеств (которое вместе с мно­жеством сохраняет хорошее покрытие

5.5. Не­четкие представления то­чечных данных

В этом небольшом разделе кратко затронем два вопроса. Пер­вый: каким образом можно представить большое семейство то­чечных данных (хі, уі) с помощью относительно малого числа не­четких гранул или нечетким отношением? Второй: как перейти от нечеткого гранулированного представления к нечеткому отно­шению? Первые попытки рассмотреть эти вопросы с аналитиче­ской точки зрения были сделаны для грануляр­ного подхода. Хотя гранулярное представление оказалось очень полезным, аналитический подход остается очень привлекатель­ным. Это объясняется тем, что нечеткое отношение R на может оказаться эквивалентным нечетко-значному отображению (представляющему обычное отображение во множество нечет­ких подмножеств множества поскольку

Такое представление удобно для обобщенных анали­тических операций, таких, как интегрирование и дифференциро­вание.

Общие этапы процедуры получения таких представлений не­четких гранул или нечеткого отношения состоят в следующем:

1) если семейство точек (хі, уі) велико, применим сначала ка­кой-нибудь метод кластеризации, который представляется подходящим, такой, чтобы с его помо­щью можно обрабатывать большие множества данных;

2) первый шаг дает нечеткие гранулы. С помощью проектиро­вания можно получить пары (Xi, Yi) (для простоты предполага­ем, что рассматривается двумерный случай) и затем гранулиро­ванную спецификацию точечных данных;

3) наоборот, выполнив объединение нечетких гранул, получим нечеткое отношение Для того чтобы сделать его более гладким и легким для последующих аналитических выкладок, можно при­бегнуть к следующей процедуре:

взять выпуклую оболочку отношения и

нормализовать f*(x),

выбрать параметризованное представление, например (L—R)-представление, и идентифицировать параметры, так, чтобы они соответствовали f*(x).

Таким образом, получим не вероятностное аналитическое пред­ставление исходного точечного множества данных.

Нечеткие отношения, рассматриваемые как отображения точек в нечеткие множества, еще не нашли большого отражения в ли­тературе. В противоположность этому гранулярная точка зрения рассматривалась и применялась более широко, причем чаще всего с использованием прямого произведения. Новые интересные во­просы возникли после введения Заде нечеткого вероятност­ного ограничения в гранулярном знании.

Важно отметить, что в теории нечетких множеств и нечеткие отображения, и гранулированная нечеткая информация могут рас­сматриваться как альтернативные способы моделирования одних и тех же плохо определенных систем. Многие направления иссле­дований остались еще не изученными: проблемы идентификации аналитического представления нечетких отображений, правил проверки пригодности гранулированной информации и т. п. Цель этих исследований состоит в обеспечении возможности получать легкие в обработке представления плохо определенных систем с учетом пронизывающей их неопределенности.

5.6. Примеры решения задач

Напомним основные свойства нечетких отношений. Одним из основных понятий теории нечетких множеств считается понятие нечеткого отношения. Эти отношения позволяют формализовать неточные утверждения типа «х почти равно у» или «х значительно больше чем у». Приведем определение нечеткого отношения и комбинации нечетких отношений.

Определение.

Нечеткое отношение R между двумя непустыми множествами (четкими) X и Y будем называть нечеткое множество, определенное на декартовом произведении X×Y, т. е.

.  (1)

Другими словами, нечеткое отношение - множество пар

,  (2)

где

  (3)

- это функция принадлежности, которая каждой паре (x, y)  приписывает ее степень принадлежности , которая интерпретируется как сила связи между элементами  и . В соответствии с принятым соглашением нечеткое отношение можно представить в виде

  (4)

или

.  (5)

Пример 1.

Применим определение 1 для формализации неточного утверждения «y примерно равно x». Пусть  и . Отношение R можно определить следующим образом:

(6)

Следовательно, функция принадлежности  отношения R  имеет вид

  (7)

Отношение R можно также задать в виде матрицы

,  (8)

где , , , а , , .