Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 41 )

1.3.1.2. Определение естественного нуля

Теперь утверждение, что некоторая эмпирическая система с от­ношениями имеет числовое представление в шкале отношений, эк­вивалентно утверждению, что ее числовое представление единст­венно с точностью до преобразования подобия. Кроме того, каж­дое из этих утверждений эквивалентно утверждению, что эмпири­ческая система с отношениями имеет естественный нуль, т. е. ес­ли носитель непрерывен (как на рис. 1), то существует объ­ект которому должно быть назначено определенное, а не про­извольное числовое значение функции принадлежности, а именно «0». Далее, чтобы при слабом упорядочении для каждой эмпири­ческой области Θ и для каждого субъекта существовал естест­венный нуль, необходимо выполнение условия

(11)

Для ограниченной структуры многозначной принадлежности

для всех Действительно, для любого

— для всех Однако для принадлеж-

ности естественный нуль не должен присваиваться классу экви­валентности (т. е. І0) всех объектов с принадлежностью ВL, а только тем объектам в этом классе, которые имеют наибольшее значение т. е. тем объектам, которые отображаются в точ­ку на рис. 1, поскольку все остальные элементы интервала І0 образуют нижнюю ветвь четкой двузначной части функции и, таким образом, как показано в разд. 3.1.2, обладают только тополо­гическими свойствами, определенными отношением что при­водит к порядковой шкале, тогда как вопрос о существовании ес­тественного нуля во множестве элементов, упорядоченных отно­шением требует анализа алгебраической структуры.

Соотношение (11) представляет собой только необходимое ус­ловие существования естественного нуля, поскольку ему удовлет­воряет минимальный элемент в любом упорядочении. Условие, по которому можно определить, будет ли данный минимальный эле­мент естественным нулем или нет, состоит в том, что (с учетом ограничений, накладываемых на физическую различимость сти­мулов в Θ) этот элемент должен быть однозначно определен для данного субъекта, и вообще для каждого субъекта интервал І0 должен определяться однозначно. В этом случае для функции принадлежности — неубывающей, когда она представлена в ви­де зависимостиот как, например, для Θ= {люди раз­личного роста} и А = высокий, — интервал І0 определяется одним элементом так как

где Таким образом, точное определение І0 эквивалентно точному определению элемента θmin (или, что одно и то же, значения xmin).

Поскольку субъект не совсем уверен в смысле субъективного понятия , то утверждать, что некоторое понятие разбивает об­ласть исследования Θ точно на интервалы І0, F и I1 и что точки xmin и xmax могут быть точно определены (в пределах физической, различимости) — значит вступать в противоречие с самой сутью представления о нечеткости.

Для доказательства того, что субъект не имеет естественного нуля для функции принадлежности достаточно принять, что для субъекта значение (где ε «мало») может быть столь же легко взято в качестве точки разделения интервалов І0 и F, как и значение xmin, т. е. достаточно предположить, что су­ществует объект θ, который субъект отличает от и, значит, считает и который он столь же легко может предло­жить для определения точки разбиения интервалов І0, F. Нап­ример, для Θ={люди различного роста } и = высокий, субъект может в качестве выбрать объект высотой 1,5 м, но с легкостью согласится, что объект высотой 1,5 м±0,003 м может быть также выбран в качестве

Однако если субъект непреклонен в своем выборе конкретно­го объекта то еще нужно убедиться, будет ли выбранный им объект естественным нулем или нет, т. е. нужно проверять согласованность его выбора. Если в качестве естественного нуля был выбран и — объект в интервале. физически отличный от то субъект никогда не должен утверждать, что а всегда говорить, что . Аналогично, если объ­ект физически отличим от , то субъект никогда не должен утверждать, что а должен всегда утверждать, что . Если первая ошибка все же сделана, то нуж­но перенести в если сделана вторая ошибка, то за нуж­но принять θ. В любом случае исходный объект не будет ес­тественным нулем, а функция принадлежности — измерена в шкале отношений.

Таким образом, если субъект настаивает на сво­ем выборе в качест­ве естественного нуля, то процедура проверки состо­ит в предъявлении не­скольких пар объектов θі и θj, таких, что θі и θj физически различимы, а значения лежат в малой окрестности . Затем субъекта несколько раз просят сделать выбор между случайно предъявляемыми парами объектов, т. е он должен определить, какое из трех отношений

он считает справедливым. Любая несогласован­ность — даже в одном испытании — доказывает, что объект θmin не может считаться естественным нулем.

Рассмотрим теперь другие кривые графиков функции принад­лежности, изображающие зависимость например, унимодальную кривую на рис 2, представляющую Θ = {одноэтаж­ные дома фиксирований ширины и различной высоты} и свойства А = эстетическая привлекательность (т. е. красивый). (Обычно в научной литературе унимодальным называется распределение, имеющее единственный максимум (на рис 2 — континуум).)

Рис.2

В этом случае

Чтобы интервал І0 можно было определить точно, и, таким образом, измерять принадлежность в шкале отношений, каждый элемент множества концевых точек в І0 должен быть однозначно (с точностью до физической различимости) определен субъектом.